数学建模美赛入门

数学建模需要的学科知识

  1. 高等数学+线性代数
    有很多算法的掌握是需要高等数学和线代的相关知识

    如:灰色预测模型需要微积分知识;神经网络需要用到导数知识;图论和层次分析法等都需要用到矩阵计算的相关知识等;

  2. 概率论与数理统计:
    当出现了不确定事件时,就必须引入概率来描述这一过程,这就使得在本来因为无知而产生不确定性时,我们用概率工具最优的表征和最优地解决了这一问题,然后用统计学的方法对各种数据进行分析、建模,从中挖掘出一些有利的信息,把他们的机理弄清楚,这些数据分析的工作完成后,往往是模型推广的第一步,也是关键的一步。

    方差分析、贝叶斯模型、随机过程、马尔科夫链、等都需要用到概率论相关知识

《数学模型》姜启源谢金星叶俊高等教育出版社:基础+方法+思想属于数学建模入门级教材,大量的数学建模案例可以提高对数模的认识和理解,但对于算法的学习并不系统
《数学建模算法与应用》司守奎 国防工业出版社:指导操作的教程这本书被奉为数学建模百科全书,目前学界在用的,成型的和发展中的方法、思想在本书中都有全面的介绍,而且很多实用的方法都附有源程序,如果不想做的很有创新性时,直接套用基本上就能解决很多国赛和美赛的题目。

美赛

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美国大学生数学建模竞赛(MCM/ICM),简称“美赛”,由美国数学及其应用联合会主办,是最高的国际性数学建模竞赛,也是世界范围内最具影响力的数学建模竞赛,

从2016年开始,每年美赛MCM/ICM各出3题,即总共六题。MCM俗称数学建模竞赛,有三道题:problemA, problemB和problemC。A题是连续型的题,B题是离散型的题,C题是数据处理的题,大都是会给出大量的表格数据进行数据处理。ICM俗称交叉学科竞赛,有三道题:problemD, problemE, problemF。与mcm不同的是,题目上会给你一些参考的数据,方便你尽快找到查数据的方向。problem D是运筹学和网络科学等类型的题目,problemE近往年都是关于环境方面的综合题目,现在改成了可持续性题目。problem F是政策的题目。

一 数学建模入门

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1.1 模型

原型 (archetype):人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象

模型(model)是指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼构造的原型替
代物,是对所研究的系统、过程、事物或概念的一种表达形式,也可指根据
实验、图样放大或缩小而制作的样品,一般用于展览或实验或铸造机器零件
等用的模子。

1.2 数学建模

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。简而言之,建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

1.3 数学建模中的模型分类

  • 按所用的数学知识分类
    初等模型、几何模型、微积分模型、微分方程模型、图论模型、概率统计模型、规划论模型等。
  • 按所解决的问题的领域分类
    物理模型:自然科学领域内的问题
    非物理模型:经济模型、交通模型、人口模型、生态模型、环境模型、医学模型、社会学模型
  • 按所建模目的分类
    描述模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等
  • 按所模型的表现特性分类:
    确定模型、随机模型;
    静态模型、动态模型、离散模型、连续模型

1.4 数学建模的过程

美赛不建议是用spsspro(或者摘取其特征)
美赛最重要的三步:模型假设、摘要、灵敏度分析

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  • 模型准备(包括数据搜集)
  • 模型假设(避免错误假设、常识性假设)
  • 模型建立(可以在复杂模型中组合模型使用流程图、创新模型使用伪代码)
  • 模型求解(不要直白地说用MATLAB等等求解)
  • 模型分析(与问题呼应,要有表层分析和深层分析)
  • 模型检验(对应模型假设)
    • 美赛看中灵敏度分析,对无法考虑的变量进行波动,灵敏度越强,稳定性就越弱
    • 误差分析:判断结果的正确性
  • 模型应用(模型的推广)

二 数学建模的实战经验

2.1 数学建模常见的赛题

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总体来说,数学建模赛题类型主要分为:评价类、预测类和优化类三种,其中优化类是最常见的赛题类型,几乎每年的地区赛或国赛美赛等均有出题,必须要掌握并且熟悉。

2.1.1 评价类

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赛题类型题目特点选择算法
评价类算法无数据支撑下指标定权,给指标制定权重;量化方案选择层次分析法
有数据支撑下指标定权与评价问题熵权法
分析各个因素对于结果的影响程度,或解决随时间变化的综合评价类问题灰色关联分析法
对评价结果进行排序;或评价的准则层太多,或准则层中的指标 (相对权重已知),则不能用层次分析法评价,要用优劣解距离法TOPSIS模型
在模糊环境下,考虑了多因素的影响,为了某种目的对一事物作出综合决策的方法。模糊综合评价法
指标较多,有训练数据支撑,并且需要对未知数据进行评价神经网络算法
多种投入和多种产出类评价问题数据包络法 (DEA)
秩和比方法常 用于评价多个指标的综合水平情况,医学研究领域应用尤为广泛。秩和比综合评价法

2.1.2 预测类

预测就是根据过去和现在估计未来,预测未来。统计预测属于预测方法研究范畴,即如何利用科学的统计方法对事物的未来发展进行定量推测
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赛题类型题目特点选择算法
预测类算法单调递增的时间序列数据预测Logistic 预测模型
灰色预测模型
二次指数平滑预测
ARMA 时间序列预测模型
季节指数预测模型
BP 神经网络预测模型
周期性的时间序列数据预测ARMA 时间序列预测模型
季节指数预测模型
BP 神经网络预测模型
不规律的时间序列数据预测高斯回归预测模型
二次指数平滑预测
ARMA 时间序列预测模型
季节指数预测模型
多个指标的时间序列数据预测BP 神经网络模型
某一个系统在已知现在的条件下,系统未来时刻的情况只与当前有关,而与过去的历史无关;马尔可夫预测模型
自变量和因变量之间有逻辑相关性回归分析预测模型

2.1.3 优化类

优化类问题是从所有可能方案中选择最合理的方案以达到最优目标。在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中,人们总是希望在有限的资源条件下,用尽可能小的代价,获得最大的收获(比如保险)。
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赛题类型题目特点选择算法
优化类算法目标函数和的束条件均为线性线性规划模型
决策变量取值被限制为整数或 0,1整数规划或 0-1 规划
以时间为划分阶段的动态过程优化问题动态优化模型
目标函数或约束条件中包括非线性函数非线性规划模型
目标函数不唯一, 即同时存在多个目标函数多目标规划模型
目标函数为凸函数时,求解算法选择基于梯度的求解算法最速下降法
随机梯度下降
拟牛顿法
目标函数为非凸函数时,求解算法选择智能优化算法粒子群算法
模拟退火
遗传算法
智能优化:决策变量为连续变量粒子群算法
智能优化:决策变量为离散变量遗传算法
智能优化:决策变量为离散变量模拟退火

2.2 数据预处理

赛题类型题目特点选择算法
数据预处理数据中存在缺失值拉格朗日插值法和牛顿插值法
数据中存在异常值利用正态分布3σ原则或画箱型图检测异常值
数据需要归一化处理标准差法、极值差法、功效系数法等
数据中存在分类变量独热编码、标签编码等
需要将连续变量进行离散化等宽法、等频法、基于聚类的思想等
数据维度过高,需要对数据数据进行 降维处理PCA 主成分分析法、T-SNE 降维算法、UMAP 降维法等

2.3 相关性分析

赛题类型题目特点选择算法
相关性分析离散变量和离散变量的相关性分析卡方检验
数据中存在异常值协方差、Pearson 相关系数、spearman 相关系数
数据需要归一化处理标准差法、极值差法、功效系数法等
数据中存在分类变量独热编码、标签编码等
需要将连续变量进行离散化等宽法、等频法、基于聚类的思想等
数据维度过高,需要对数据数据进行 降维处理PCA 主成分分析法、T-SNE 降维算法、UMAP 降维法等

2.4 分类问题

赛题类型题目特点选择算法
分类问题无监督聚类(无训练数据) K-Means 算法
层次聚类算法
高斯混合聚类模型
SOM 自组织神经网络
监督聚类(有训练数据) KNN 聚类模型
BP 神经网络分类模型
决策树分类模型
朴素贝叶斯分类等
图与网络两个指定顶点之间的最短路径Dijkstra 模型
每对顶点之间的最短路径Floyd 模型
TSP 旅行商问题图+规划模型
微分方程研究问题较为复杂的变量,并且变量间满足某些基本规律 人口模型
战争模型
传染病模型

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