二分查找及其变种

一、概念

二分查找算法(Binary Search Algorithm)是一种在有序数组中查找特定元素的高效搜索方法。

其基本思想是将目标值与数组中间的元素进行比较,如果目标值等于中间元素,则查找成功;如果目标值小于中间元素,则在数组左半部分继续查找;如果目标值大于中间元素,则在数组右半部分继续查找。这个过程将不断重复,直到找到目标值或搜索范围为空为止。

二、实现步骤

2.1 初始化: 确定搜索范围的左右边界,通常用两个指针表示,一个指向数组的起始位置(left,索引0),另一个指向数组的结束位置(right,数组长度减1)。

2.2 循环条件: 当左指针小于等于右指针时,继续查找。

2.3 计算中间索引: 计算当前搜索范围的中间位置 mid,通常使用 (left + right) / 2 来避免整数溢出。

口诀:奇数二分取中间 偶数二分取中间靠左;

2.4 比较中间元素: 比较 array[mid] 与目标值 target:

  • 如果 array[mid] 等于 target,则查找成功,返回 mid。
  • 如果 array[mid] 大于 target,则在左半部分继续查找,更新右指针 right = mid - 1。
  • 如果 array[mid] 小于 target,则在右半部分继续查找,更新左指针 left = mid + 1。

2.5 结束循环: 如果左指针大于右指针,表示搜索范围为空,目标值不在数组中,返回一个表示未找到的值,如 -1。

三、代码实现

public class BinarySearch {public int binarySearch(int[] nums, int target) {int left = 0;int right = nums.length - 1;while (left <= right) {int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出if (nums[mid] == target) {return mid; // 找到目标值,返回索引} else if (nums[mid] < target) {left = mid + 1; // 在右半部分查找} else {right = mid - 1; // 在左半部分查找}}return -1; // 未找到目标值,返回-1}
}

注意事项:

 1. 如果left 和 right比较大的话,两者之和就有可能会溢出。改进的方法是将 mid 的计算方式写成 left +(right-left )/2。更进一步,如果要将性能优化到极致的话,我们可以将这里的除以 2 操作转化成位运算 left +((right-left )>>1)。因为相比除法运算来说,计算机处理位运算要快得多。

2. while  (left < = right),注意括号内为 left <= right ,而不是 left < right ,如果我们设置条件为 left  <  right 则当我们执行到最后一步时,则我们的 left 和 right 重叠时,则会跳出循环,返回 -1,区间内不存在该元素,但是不是这样的,我们的 left 和 right 此时指向的就是我们的目标元素 ,但是此时 left = right 跳出循环

3. left = mid + 1,right = mid - 1 而不是 left = mid 和 right = mid。当我们的target 元素为 16 时,然后我们此时 left = 7 ,right = 8,mid = left + (right - left) = 7 + (8-7) = 7,那如果设置 left = mid 的话,则会进入死循环,mid  值一直为7 。

四、算法变种

4.1 

给定一个按照升序排列的整数数组 nums,和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target,返回 [-1, -1]。

示例 1:
输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8 输出:[3,4]示例 2:
输入:nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6 输出:[-1,-1]示例 3:
输入:nums = [], target = 0 输出:[-1,-1]

从最原始的二分查找代码中分析, nums[mid] == target 时则返回,nums[mid] < target 时则移动左指针,在右区间进行查找, nums[mid]  >  target 时则移动右指针,在左区间内进行查找。

那么我们思考一下,如果此时我们的 nums[mid] = target ,但是我们不能确定 mid 是否为该目标数的左边界,所以此时我们不可以返回下标。

 

此时 mid = 4 ,nums[mid] = 5,但是此时的 mid 指向的并不是第一个 5,所以我们需要继续查找 ,因为我们要找的是数的下边界,所以我们需要在 mid 的值的左区间继续寻找 5 ,那应该怎么做呢?

我们只需在target <= nums[mid] 时,让 right = mid - 1即可,这样我们就可以继续在 mid 的左区间继续找 5 。

解决方案:

将小于和等于合并在一起处理,当 target <= nums[mid] 时,我们都移动右指针,也就是 right = mid -1,还有一个需要注意的就是,我们计算下边界时最后的返回值为 left ,当上图结束循环时,left = 3,right = 2,返回 left 刚好时我们的下边界。

计算上边界时算是和计算上边界时条件相反,

计算下边界时,当  target <= nums[mid]  时,right = mid -1;target > nums[mid] 时,left = mid + 1;

计算上边界时,当  target < nums[mid] 时,right = mid -1; target >= nums[mid] 时 left = mid + 1;刚好和计算下边界时条件相反,返回right。

public class Solution {public static int[] searchRange(int[] nums,int target){int upper = upperBound(nums, target);int low = lowerBound(nums, target);//不存在情况if (upper < low){return new int[]{-1,-1};}return new int[]{low,upper};}//计算下边界static int lowerBound(int[] nums,int target){int left = 0, right = nums.length - 1;while (left <= right){//计算midint mid = left + ((right - left) >> 1);if (target <= nums[mid]){//当目标值小于等于nums[mid]时,继续在左区间检索,找到第一个数right = mid -1;}else if (target > nums[mid]){//目标值大于nums[mid]时,则在右区间继续检索,找到第一个等于目标值的数left = mid + 1;}}return left;}//计算上边界static int upperBound(int[] nums,int target){int left = 0,right = nums.length - 1;while (left <= right){int mid = left + ((right - left) >> 1);if (target >= nums[mid]){left = mid + 1;}else if (target < nums[mid]){right = mid - 1;}}return right;}
}

 

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