背包问题

二维01 背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组，即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

只看这个二维数组的定义，大家一定会有点懵，看下面这个图：

2.确定递归表达式

 dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少

dp[i][j]可以从两个方向推出，选择第i个物品和不选择第i个物品

1.选择第i个物品：dp[i][j]=max（dp[i-1][j]，dp[i-1][j-wight[i]]+value[i]），选择价值大的

2.不选第i个物品：dp[i][j]=dp[i-1][j]，因为没有选所以和选前i-1个物品价值一样

  3.dp数组如何初始化

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。如图：

 当i为0时，即当选择物品0 时，当容量小于物品0的体积时，dp[0][j]=0,否则为value[0];

4.确定遍历顺序

在如下图中，可以看出，有两个遍历的维度：物品与背包重量

本题都可以，先遍历物品在遍历背包较好理解

import java.util.Scanner;public class Main {public static int M;// M 代表研究材料的种类，public static int N;//  N，代表小明的行李空间。public static void main(String[] args) {Scanner sc=new Scanner(System.in);M=sc.nextInt();N=sc.nextInt();int[]wight=new int[M];//材料的重量int[]value=new int[M];//材料的价值for (int i = 0; i <M ; i++) {wight[i]=sc.nextInt();}for (int i = 0; i <M ; i++) {value[i]=sc.nextInt();}int[][]dp=new int[M][N+1];for (int i = 0; i <M ; i++) {dp[i][0]=0;}for (int i = wight[0]; i <=N ; i++) {dp[0][i]=value[0];}for (int i = 1; i <M ; i++) {for (int j = 1; j <=N ; j++) {if(j<wight[i]){//不放dp[i][j]=dp[i-1][j];}else {dp[i][j]=Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-wight[i]]+value[i]);}}}System.out.println(dp[M-1][N]);}
}

一维dp数组（滚动数组）

1.确定dp数组的定义

在一维dp数组中，dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2.一维dp数组的递推公式

dp[j]为 容量为j的背包所背的最大价值，那么如何推导dp[j]呢？

dp[j]可以通过dp[j - weight[i]]推导出来，dp[j - weight[i]]表示容量为j - weight[i]的背包所背的最大价值。

所以递归公式为：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

 dp[j]表示：容量为j的背包，所背的物品价值可以最大为dp[j]，那么dp[0]就应该是0，因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

2.一维dp数组遍历顺序

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！

代码如下：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);}
}

import java.util.Scanner;public class Main {public static int M;// M 代表研究材料的种类，public static int N;//  N，代表小明的行李空间。public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);M = sc.nextInt();N = sc.nextInt();int[] wight = new int[M];//材料的重量int[] value = new int[M];//材料的价值for (int i = 0; i < M; i++) {wight[i] = sc.nextInt();}for (int i = 0; i < M; i++) {value[i] = sc.nextInt();}int[] dp = new int[N + 1];dp[0] = 0;for (int i = 0; i < M; i++) {for (int j = N; j >= wight[i]; j--) {dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - wight[i]] + value[i]);}}System.out.println(dp[N]);}
}

class Solution {public boolean canPartition(int[] nums) {int sum=0;int target=0;for (int i = 0; i < nums.length ; i++) {sum+=nums[i];}if(sum%2==1){return false;}target=sum/2;int[] dp = new int[10001];dp[0] = 0;for (int i = 0; i < nums.length; i++) {for (int j = target; j >=nums[i]; j--) {dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);}}return  dp[target]==target;}
}