最短路问题

最短路问题是图论里非常经典的一个考点

接下来着重讲述五种求最短路的算法：朴素版dijkstra算法、堆优化版的dijkstra算法、bellman-ford算法、spfa算法、floyd算法

总体思维导图：

总体思路：

最短路分为两大类
{
在以下给出的时间复杂度中n表示图中的点数，m表示图中的边数

源点就是起点，汇点就是终点
①单源最短路{
求一个点到其它所有点的最短距离，（比如：从1号点到n的最短路问题）。
①{
1、所有边权都是正的
{
一、朴素的Dijkstra算法（O(n^2)）
二、堆优化的Dijkstra算法（O(mlogn)）

如果图上的边数越稠密（当m和n^2差不多的时候即为稠密图），那么堆优化版的要比朴素版的时间复杂度要高。反之如果边是稀疏的，那么尽量使用堆优化般的。

稠密图用邻接矩阵（矩阵），稀疏图用邻接表（链表）

朴素的Dijkstra板子：

void dijkstra()
{memset(dist, 0x3f, sizeof dist);dist[1] = 0;for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ){int t = -1;     // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点for (int j = 1; j <= n; j ++ )if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))t = j;// 用t更新其他点的距离for (int j = 1; j <= n; j ++ )dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);st[t] = true;}}

堆优化的Dijkstra板子：

int dijkstra()
{dist[1] = 0;priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;heap.push({0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号while (heap.size()){auto t = heap.top();heap.pop();int ver = t.second, distance = t.first;if (st[ver]) continue;st[ver] = true;for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > distance + w[i]){dist[j] = distance + w[i];heap.push({dist[j], j});}}}}

}
2、存在负权边
{
一、Bellman-Ford算法 O(nm)
二、SPFA 一般情况下O(m)，最坏O(nm)。SPFA算法也就是对Bellman-Ford算法的优化，
若对边数进行了限制就不能使用SPFA算法，只能使用Bellman-ford算法。

一般情况下，题目中不会对边数进行限制，所以99%的情况SPFA算法要比Bellman-ford算法好用的多。

Bellman-Ford板子：备份

struct Edge
{//a,b,w从a走向b的边，权重是wint a,b,w;
}edges[M];int ballman_ford()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;//最多经历k次for(int i=0;i<k;i++){//先复制一层，防止串联memcpy(backup,dist,sizeof dist);for(int j=0;j<m;j++){//调用结构体auto e=edges[j];//等于上一个点＋权重的值 与 当前这个点到原点的距离最小值dist[e.b]=min(backup[e.a]+e.w,dist[e.b]);}}

SPFA板子：每个被更新的节点都用队列存储进来，注意使用st[ ]来优化，防止重复进入

void spfa()
{dist[1] = 0;queue<int> q;q.push(1);st[1] = true;while (q.size()){auto t = q.front();q.pop();st[t] = false;for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]){int j = e[i];if (dist[j] > dist[t] + w[i]){dist[j] = dist[t] + w[i];if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入{q.push(j);st[j] = true;}}}}
}

}
}
}
②多源汇最短路{
不会像单源最短路那样只有一个起点。多源汇最短路可能有多个起点，对于多次询问，从其中一个点走到另外一个点的最短路问题，起点和终点都是不确定的

Floyd算法 O(N^3)

Floyd板子：三重循环

void floyd()
{for (int k = 1; k <= n; k ++ )for (int i = 1; i <= n; i ++ )for (int j = 1; j <= n; j ++ )d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

}
}

朴素版的dijkstra: O(MN)

题目：849. Dijkstra求最短路 I - AcWing题库

本题思路：

到起点的距离:dist[i]。已经确定了最短距离的点的集合：s[i]

第一步先初始化距离：dist[1]=0,其余的dist[i]= +∞(比较大的数)
因为一开始只有起点的距离是被确定的了，其余的所有点都是不确定的

1号点到n号点最近的距离最近也就是n号点到1号点的距离最近，而由于这里1号点的到起点的距离已经确定所以一开始更新迭代就利用dist[1]已知的条件，来更新其他点到1号点的距离dist[x]，然后再更新其他点到点x的距离即可。
这期间如果1号点到n号点的距离已经求出dist[n]，且dist[x]<dist[n]，那么dist[x]的距离就是确定了的（继续以这点迭代下去）。
如果不小于dist[n]，那就没必要继续迭代下去，因为按照x的这条路径的长度会增加，那么就更一定不小于dist[n]，所以更新到n号点时，那么n号点到1号点的距离也就最近了

第二步是一个迭代循环的过程：
for(int i=0,i<n;i++)
{
t=不在s中的所有点中距离起点最近的点（距离最近的点）
s⬅t （如果有的话就把t加到s里面去）
更新dist[i]（用t更新，即如果dist[i]>dist[t]+w（w是权重）就用t更新）
}

模拟：

在图论中寻找最短路的大体思维就是这样的，后面的算法也是如此，不在给出

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>using namespace std;const int N=510;int n,m;
int g[N][N];
//到起点的距离
int dist[N];
bool st[N];int dijkstra()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;//找到当前没有确定的点当中，距离起点最近的那个点（然后以这个点更新迭代之后的点）//如果已经确定了，那么就和dist[n]进行比较，来确定下一步是继续迭代还是结束这条路径for(int i=0;i<n;i++){int t=-1;for(int j=1;j<=n;j++){if(!st[j] && (t==-1 || dist[t] >dist[j]))//确定dist[j];t=j;}//已经确定了dist[t];st[t]=true;//更新每个点到1号点的距离for(int j=1;j<=n;j++){//使其等于（j号点到1号点的距离）与（t号点到1号点的距离＋t号点到j号点距离的最小值）dist[j]=min(dist[j],dist[t]+g[t][j]);}}if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;else return dist[n];
}int main()
{cin >> n >> m;//初始化所有点之间的距离都为一个较大的数memset(g,0x3f,sizeof g);while(m--){int a,b,c;cin >> a >> b >> c;//防止重边g[a][b]=min(g[a][b],c);}cout << dijkstra();return 0;
}

堆优化版的dijkstra: O(mlogn)

题目：850. Dijkstra求最短路 II - AcWing题库

这里是稀疏图，使用邻接表来存

代码：

/*
n表示图中的点数，m表示图中的边数
一、朴素的Dijkstra算法（O(n^2)）
二、堆优化的Dijkstra算法（O(mlogn)）使用朴素版的dijkstra必定会爆掉，所以采用堆优化
由于点数和边数大致差不多，所以在这里是稀疏图→使用邻接表来存
这里采用优先队列。
*/#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>using namespace std;typedef pair<int,int> PII;
const int N=150010;
int n,m;
int h[N],w[N],e[N],ne[N],idx;
int dist[N];
bool st[N];void add(int a,int b,int c)
{e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}int dijkstra()
{dist[1]=0;//这里是小根堆，因为是从一号点开始priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII>> heap;
//这里先放距离，后放点的原因是pair<int,int>类的排序，是先比较的first，如果first相同才比较second//一号点，距离为0先放入队列中heap.push({0,1});while(heap.size()){auto t=heap.top();heap.pop();int ver=t.second,distance=t.first;//如果这个点已经使用过了的话，直接跳过if(st[ver])  continue;st[ver]=true;//使用这个点，以这个点为起点向下遍历//向下遍历，走到ver能走到的所有点for(int i=h[ver];i!=-1;i=ne[i]){//找出点坐标int tt=e[i];/*假设上一个点为x，下一个点为y。如果下一个点到原点的距离(dist[tt])大于（上一个点到原点的距离distance+x到y的距离(w[i])）时，才有更新的价值。*/if(dist[tt]>distance+w[i]){//符合，更新当前点到原点的距离dist[tt]=distance+w[i];//放入队列heap.push({dist[tt],tt});}}}if(dist[n]==0x3f3f3f3f) return -1;return dist[n];
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);memset(dist,0x3f,sizeof dist);memset(h,-1,sizeof h);while(m--){int a,b,c;scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);、//使用链表来存储add(a,b,c);}printf("%d\n",dijkstra());return 0;
}

Bellman-ford算法

题目：853. 有边数限制的最短路 - AcWing题库

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;//点数，边数
const int N=510,M=10010;
int n,m,k;int dist[N],backup[N];struct Edge
{//a,b,w从a走向b的边，权重是wint a,b,w;
}edges[M];int ballman_ford()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;//最多经历k次for(int i=0;i<k;i++){
//复制一份，防止串联memcpy(backup,dist,sizeof dist);for(int j=0;j<m;j++){auto e=edges[j];dist[e.b]=min(backup[e.a]+e.w,dist[e.b]);}}if(dist[n] > 0x3f3f3f3f /2) cout << "impossible" << endl;else cout << dist[n];
}int main()
{cin >> n >> m >> k;for(int i=0;i<m;i++){int a,b,c;cin >> a >> b >> c;edges[i]={a,b,c};}ballman_ford();return 0;
}

SPFA算法：

题目：851. spfa求最短路 - AcWing题库

模拟：

代码：

/*
每次将变小了的节点入队，那么用此节点更新后面的节点时才有可能将后面的数值变小
否则，若此节点都没变小，那么后面的节点不一定会因为被此节点更新而变小
即优化的是Bellman-ford算法里的这一步：for (int i = 0; i < n; i ++ )for (int j = 0; j < m; j ++ )
这里并不能保证每一次的j循环都有节点被更新，从而增加时间复杂度（公司的总效益涨了，员工的工资才有可能会涨，即前面的点的dist数值减小了，后面的数值才可能会减小）
省去了因为没有被更新而重复的操作
但是如果出题人卡你，时间复杂度和bellman-ford算法一致O(nm),最好的情况为O(m);
*/#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>using namespace std;int n,m;
const int N=1e5+10;
int e[N],ne[N],h[N],idx,w[N];
queue<int> q;
bool st[N];
int dist[N];
//使用链表进行储存
void add(int a,int b,int c)
{e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}void spfa()
{memset(dist,0x3f,sizeof dist);dist[1]=0;q.push(1);//使用过1号节点，则为truest[1]=true;while(q.size()){int t=q.front();q.pop();/*取出来头节点之后，那么在队列中的头节点会被删除，也就需要清空其使用情况以方便下次的入队（只要这个节点变小了，那么就可以用它来再次更新后面的节点）也就是再次入队*/st[t]=false;//从头结点开始遍历，使用队列中的节点依次更新后面的值的大小for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(dist[j]>dist[t]+w[i]){dist[j]=dist[t]+w[i];if(!st[j]){q.push(j);st[j]=true;}}}}//由于每次更新都是由队列里的数来更新，所以如果抵达不到n的话，那么n号点一定没有被更新if(dist[n]==0x3f3f3f3f) cout << "impossible" << endl;else cout << dist[n];
}int main()
{memset(h,-1,sizeof h);cin >> n >>m;while(m--){int a,b,c;cin >> a >> b >> c;add(a,b,c);}spfa();return 0;
}

题目：852. spfa判断负环 - AcWing题库

这里再寻找最短路时，如若存在负环，那么会一直绕着这个负环来循环（因为这样可以使距离无限变小）

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>using namespace std;const int N=10010;
int n,m;
int e[N],ne[N],h[N],w[N],idx;
//cnt[]表示当前最短路的边数
int dist[N],cnt[N];
bool st[N];
queue<int> q;void add(int a,int b,int c)
{e[idx]=b,ne[idx]=h[a],w[idx]=c,h[a]=idx++;
}bool spfa()
{//负环所在的位置可能是头节点抵达不到的，所以一开始将所有点全部放进队列中for(int i=1;i<=n;i++){//标记为true，表示该节点已经被放进了队列里st[i]=true;q.push(i);}while(q.size()){int t=q.front();q.pop();st[t]=false;for(int i=h[t];i!=-1;i=ne[i]){int j=e[i];if(dist[j]>dist[t]+w[i]){dist[j]=dist[t]+w[i];cnt[j]=cnt[t]+1;//如果不存在负环的话，那么从一个节点出发后所遍历的边数一定小于n//否则的话就一定存在负环if(cnt[j]>=n) return true;if(!st[i]){q.push(j);st[j]=true;}}}}return false;
}int main()
{memset(h,-1,sizeof h);cin >> n >> m;while(m--){int a,b,c;cin >> a >> b >> c;add(a,b,c);}if(spfa()) puts("Yes");else puts("No");return 0;
}

Floyed算法：

这里的证明使用dp来论证的，建议直接背板子

题目：854. Floyd求最短路 - AcWing题库

代码：

/*
②多源汇最短路{不会像单源最短路那样只有一个起点。多源汇最短路可能有多个起点，对于多次询问，从其中一个点走到另外一个点的最短路问题，起点和终点都是不确定的Floyd算法 O(N^3)}用邻接矩阵存储所有的边d[][]for(k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])}}}循环完之后d[i][j]就是从i到j的最短路径
*/#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>using namespace std;const int N=210,INF=1e9;
int d[N][N];
int n,m,Q;void floyd()
{for(int k=1;k<=n;k++){for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);}}}
}int main()
{cin >> n >> m >> Q;//初始化for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){//自环的距离初始化为0if(i==j) d[i][j]=0;//其余的初始化为正无穷else d[i][j]=INF;}}while(m--){int a,b,c;cin >> a >> b >> c;//对于重边来说取一个最小值即可d[a][b]=min(d[a][b],c);}floyd();while(Q--){int a,b;cin >> a >> b;//存在负权边时距离的大小不等于INFif(d[a][b]>INF/2) cout << "impossible" << endl;else cout << d[a][b] << endl;}return 0;
}