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1 基本原理

参考博客：https://www.cnblogs.com/zxporz/p/16072580.html

$\mathsf{DCT}$ 全称为 $\mathsf{Discrete}\mathsf{Cosine}\mathsf{Transform}$，即离散余弦变换。$\mathsf{DCT}$ 变换属于傅里叶变换的一种，常用于对信号和图像（包括图片和视频）进行数据压缩。$\mathsf{DCT}$ 是视频压缩史上最重要的发明之一，对于 $H.26X$ 和 $\mathsf{JPEG}$ 等压缩标准的制定至关重要。

虽然 $\mathsf{DCT}$ 具有比较复杂的数学公式，但是我们这里仅做简单理解。

对一幅图像执行离散余弦变换 $(\mathsf{DCT})$ 相当于将图像的能量集中在变换系数的左上角，这部分系数被称为直流 $(\mathsf{DC})$ 系数。直流系数是 $\mathsf{DCT}$ 最重要的输出之一，因为它携带了原始图像的大部分信息。其余的系数，分布在左上角之外的区域，被称为交流 $(\mathsf{AC})$ 系数。这些系数包含了图像的细节信息，反映了图像的纹理和边缘。

只要对这些 $\mathsf{DCT}$ 系数做逆离散余弦变换 $(\mathsf{IDCT})$，理论上就可以重建出原始图像的像素矩阵。需要注意的是，$\mathsf{DCT}$ 本身并不直接压缩数据。它起到的是一个准备作用，为后续的量化、编码等压缩步骤提供了有力的数学基础。量化过程会根据需要压缩的强度，减少 $\mathsf{AC}$ 系数中的某些值，从而实现数据压缩。

假设一张图片由 $3\times 3$ 个像素块构成，如下图所示：

原文说的是，取一个图像中的一部分，且这个部分只包含 $3\times 3$ 个像素。

如上图所示，相当于是把其余格的部分信息（特征）都抽取到了第一个格。第一个格的像素值就是这个图像的低频信息，其余格的就是这个图像的高频信息。低频信息主要表示的是一张图的总体样貌，一般低频系数的值也比较大。而高频信息主要表示的是图像中人物或物体的细节，一般高频系数的数量较多。做完 $\mathsf{DCT}$ 变换后，低频信息和高频信息就分离开来了。

2 代码实现

参考博客：https://blog.csdn.net/qq_41821067/article/details/114113677

import cv2
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt# 处理原始图像
img = cv2.imread('logo.jpg', 0)  # 读取图像为灰度图像
print("img.shape:", img.shape)
img1 = img.astype('float32')  # 将unit8类型转换为float类型# 进行离散余弦变换
img_dct = cv2.dct(img1)
print("img_dct:", img_dct)
print("img_dct.shape:", img_dct.shape)# 进行对数处理
img_dct_log = np.log(abs(img_dct))
print("img_dct_log:", img_dct_log)# 进行逆离散余弦变换
img_recor = cv2.idct(img_dct)
print("img_recor:", img_recor)
print("img_recor.shape:", img_recor.shape)# 判断是否相同
print("img:", img)
print("img_recor:", img_recor)
print(abs(img - img_recor) < 1)# 画图
plt.subplot(1, 4, 1)
plt.title("Original Image", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(img, cmap="gray")plt.subplot(1, 4, 2)
plt.title("Coefficients", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(img_dct, cmap="gray")plt.subplot(1, 4, 3)
plt.title("Log", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(img_dct_log, cmap="gray")plt.subplot(1, 4, 4)
plt.title("Recovered Image", fontsize=12, loc="center")
plt.axis('off')
plt.imshow(img_recor, cmap="gray")plt.savefig('test.jpg', dpi=400, bbox_inches='tight')
plt.show()

代码说明：

• 根据 img.shape 和 img_dct.shape 的结果可知 $\mathsf{DCT}$ 并不会改变图像的大小。
• 根据 img_dct 可知 $\mathsf{DCT}$ 系数非常小，以至于在视觉上难以区分。为了更好地可视化这些系数，我们对其进行对数变换，以拉伸坐标轴的刻度，使得小的系数在图像中也能显示出来。
• 根据 img 和 img_recor 可知原始图像和还原后的图像并不完全相等，但是根据 print(abs(img - img_recor) < 1) 可知二者之间的像素差值不会超过 $1$。

效果如下：

3 图像压缩

import cv2
from matplotlib import pyplot as plt# 处理原始图像
img = cv2.imread('logo.jpg', 0)  # 读取图像为灰度图像
img1 = img.astype('float32')  # 将unit8类型转换为float类型# 进行离散余弦变换
img_dct = cv2.dct(img1)# 压缩图像
zip_len = [10, 20, 50, 100, 200, 300, 500, 800]  # 压缩后的图像大小for i in range(len(zip_len)):# 进行逆离散余弦变换：仅保留左上角的部分数据img_recor = cv2.idct(img_dct[0:zip_len[i], 0:zip_len[i]])print("img_recor.shape:", img_recor.shape)# 画图plt.subplot(2, int(len(zip_len) / 2), i + 1)plt.title("zip_len={zip_len}".format(zip_len=zip_len[i]), fontsize=12, loc="center")plt.axis('off')plt.imshow(img_recor, cmap="gray")plt.savefig('compress.jpg', dpi=400, bbox_inches='tight')
plt.show()

核心代码：

cv2.idct(img_dct[0:zip_len[i], 0:zip_len[i]])

使用 $\mathsf{DCT}$ 进行图片压缩的本质，就是仅保留部分左上角的 $\mathsf{DCT}$ 系数，通过逆变换构建被压缩了的图像。

效果如下：