二叉树
1、什么是二叉树
二叉树(Binar Tree)是n(n>=0)个结点的优先集合，该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根结点和两颗互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树的二叉树构成。
这里给张图，能更直观的感受二叉树：
2、二叉树的特点
从上图可以看出二叉树的几个特点：
- 二叉树不存在度大于2的结点，每个结点最多有两颗子树；
- 左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒；
- 即使树中的某个结点只有一颗子树，那也要区分它是左子树还是右子树。
讲到这那就不得不提及二叉树的五种基本形态：
- 空二叉树；
- 只有一个根节点；
- 根结点只有左子树；
- 根结点只有右子树；
- 根结点既有左子树又有右子树。
如下图所示，这棵树就不符合二叉树的条件，所以它就不是一颗二叉树。
3、几种特殊的二叉树
- 斜树：顾名思义，斜树一定是要斜的，但是往哪斜是有讲究的。所有结点只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。
- 满二叉树：在一棵二叉树中，如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
- 完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。
4、二叉树的性质
4.1 满二叉树的性质
- 叶子只能出现在最下一层。出现在其他层就不可能达到平衡；
- 非叶子节点的度一定是2，否则就是“缺胳膊少腿”了；
- 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子最多。
4.2 完全二叉树的性质
- 叶子结点只能出现在最下两层；
- 最下层的叶子一定集中在左部连续位置；
- 倒数两层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置；
- 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右孩子的情况；
- 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小。
4.3 二叉树的性质
- 若规定根节点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的 第 i 层上最多有2^(i-1) 个结点.
- 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h - 1.
- 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 ， h= log2(n+1). (ps：是log 以 2 为底，n+1 为对数 ).
- 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对 于序号为i的结点有：1. 若 i>0 ， i 位置节点的双亲序号： (i-1)/2 ； i=0 ， i 为根节点编号，无双亲节点2. 若 2i+1<n ，左孩子序号： 2i+1 ， 2i+1>=n 否则无左孩子3. 若 2i+2<n ，右孩子序号： 2i+2 ，2i+2>=n否则无右孩子
- 对任何一棵二叉树, 如果度为 0 其叶结点个数为n0 , 度为 2 的分支结点个数为n2 , 则有 n0＝n2 ＋ 1.
5、现实中的二叉树
6、二叉树的存储结构
二叉树一般可以使用两种存储结构，一种是顺序存储结构，另一种则是链式存储结构。
6.1 顺序存储结构
二叉树的顺序存储结构计算用一个一维数组存储二叉树中的结点。一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。
6.2 链式存储结构
二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链。
typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点值域
}；
7、二叉树的顺序存储结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。而完全二叉树更适合使用顺序结 构存储。现实中我们通常把堆 ( 一种二叉树 ) 使用顺序结构的数组来存储，需要注意的是这里的堆和操作系统 虚拟进程地址空间中的堆是两回事，一个是数据结构，一个是操作系统中管理内存的一块区域分段。
7.1 堆的概念和结构
如果有一个关键码的集合 K = { k0 ，k1 ，k2 ， … ，kn-1}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储 在一个一维数组中，并满足： ki<=k2i+2 且 ki<=k2i+1 (ki >=k2i+1 且 ki>=k2i+2 ) i = 0， 1， 2…，则称为小堆 ( 或大堆 ) 。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。
堆的性质：
堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
堆总是一棵完全二叉树。
7.2 堆的实现
实现堆的接口函数：
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
#include<stdbool.h>
#include<time.h>
#include<string.h>typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{//数组存储HPDataType* a; //数组int size; //数据的个数int capacity; //数组长度
}HP;//初始化
void HeapInit(HP* php);//释放空间
void HeapDestory(HP* php);//插入数据
void HeapPush(HP* php, HPDataType x);//打印数据
void HeapPrint(HP* php);//删除数据
void HeapPop(HP* php);//获取第一个数据
HPDataType HeapTop(HP* php);//判断是否为空
bool HeapEmpty(HP* php);函数的具体实现
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"//初始化
void HeapInit(HP* php)
{assert(php);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//释放空间
void HeapDestory(HP* php)
{assert(php);free(php->a);php->a = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//交换数据
void Swap(HPDataType* x, HPDataType* y)
{HPDataType tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}//结点向上调整 -- 小堆
void AdJustUp(HPDataType* a, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;//循环判定条件为孩子结点下标大于0while (child > 0){ //如果孩子结点值小于父亲节点就相互交换if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;parent = (parent - 1) / 2;}//如果孩子结点值大于或等于父亲节点值就直接跳出循环else{break;}}}//向下调整
void AdJustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{int child = 2 * parent + 1;while (child < n ){//找出左孩子和右孩子中较小的那个if (child+1 < n && a[child + 1] > a[child]){++child;}if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);//继续向下调整parent = child; child = 2 * parent + 1;}else{break;}}
}//插入数据
void HeapPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//扩容if (php->capacity == php->size){int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, sizeof(HPDataType) * newcapacity);if (tmp == NULL){perror("realloc fail");exit(-1);}php->a = tmp;php->capacity = newcapacity;}php->a[php->size] = x;php->size++;//插入新元素后，要使原来的堆还是小堆，就得向上调整AdJustUp(php->a , php->size-1);
}//打印数据
void HeapPrint(HP* php)
{assert(php);for (int i = 0; i < php->size; i++){printf("%d ", php->a[i]);}
}//删除数据
void HeapPop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);//交换第一个和最后一个数据Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);--php->size;AdJustDown(php->a, php->size, 0);
}//获取第一个数据
HPDataType HeapTop(HP* php)
{assert(php);assert(php->size > 0);return php->a[0];
}//判断是否为空
bool HeapEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}
