邻接矩阵基础入门

引言

邻接矩阵是图论中表示图的一种方式，它通过矩阵来描述图中各顶点之间的连接关系。在邻接矩阵中，图中的每个顶点都对应矩阵中的一行和一列，矩阵中的元素表示顶点之间是否存在边以及边的权重（如果是加权图）。

定义和性质

对于一个包含n个顶点的图G，其邻接矩阵A是一个n×n的矩阵，其中的元素A[i][j]（i、j从0开始或从1开始，根据实际情况而定）定义如下：

如果存在一条从顶点i到顶点j的边，那么A[i][j]为1（在无权图中）或者边的权重（在加权图中）。
如果没有从顶点i到顶点j的边，那么A[i][j]为0。

因此，对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，即对所有i和j有A[i][j] = A[j][i]。对于有向图，则不一定符合这个性质。

示例

在这个邻接矩阵中，A[0][1] = 1表示顶点0和顶点1之间有一条边，而A[0][3] = 0表示顶点0和顶点3之间没有边。

邻接矩阵的优缺点

邻接矩阵的主要优点是简单直观，容易理解和实现，特别适合用来表示稠密图。此外，基于邻接矩阵的图算法（如求最短路径的Floyd-Warshall算法）也比较简洁。

不过，邻接矩阵也有明显的缺点。其中最大的缺点是空间复杂度较高，对于包含n个顶点的图，不管图中有多少条边，邻接矩阵都需要n×n的空间。因此，对于稀疏图（边数远小于顶点数的平方）来说，使用邻接矩阵表示会造成很大的空间浪费。

此外，一些图算法（如寻找所有顶点对的最短路径）的时间复杂度也会受到邻接矩阵空间复杂度的影响。

使用邻接矩阵的示例代码

以下是使用C++实现的邻接矩阵表示法创建无向图的示例代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;class Graph {
private:int V; // 顶点数vector<vector<int>> adjMatrix; // 邻接矩阵
public:Graph(int V) {this->V = V;adjMatrix.resize(V, vector<int>(V, 0));}void addEdge(int u, int v) {adjMatrix[u][v] = 1;adjMatrix[v][u] = 1; // 无向图的邻接矩阵是对称的}void printAdjMatrix() {for (int i = 0; i < V; ++i) {for (int j = 0; j < V; ++j) {cout << adjMatrix[i][j] << " ";}cout << "\n";}}
};int main() {Graph g(4);g.addEdge(0, 1);g.addEdge(0, 2);g.addEdge(1, 2);g.addEdge(1, 3);g.printAdjMatrix();return 0;
}

这段代码定义了一个Graph类来表示图，使用邻接矩阵存储图中的边信息，并提供了添加边和打印邻接矩阵的方法。