最小生成树刷题笔记

算法基础：

首先是prim算法三部曲：

（1）找到距离最小生成树最近的节点。

（2）将距离最小生成树最近的节点加入到最小生成树中。

（3）更新非最小生成树节点到最小生成树的距离。

实现步骤：

首先我们利用一个for循环遍历n - 1遍，因为我们从第1个节点开始将其加入到生成树之中后知道添加到还剩两个节点时，我们可以发现当我们添加玩倒数第二个节点后，最后一个节点的mindist数值在处理倒数第二个节点的第三部更新过程中已经得到了，这个距离不是倒数第二个节点到它的距离grid[cur][j]就是之前已经得到的它与某个节点之间的距离mindist[j]。

（1）寻找最近节点：

判断最近节点的三个条件：1.未在生成树中。 2.距离生成树距离最短 3.选取最短距离我们先随便选出一个节点然后再与其他节点比较

if(!isvisited[j] && (cur = -1 || mindist[cur] < mindist[j]) Cur = j;

这里我们每遍历一层就会将cur置为-1以便我们可以最快选取一个随机节点并遍历后面的节点与之比较。而第二层的mindist[j]的值已经在第一层的第三步更新操作中得到。

（2）将最近节点加入生成树：

isintree[cur] = true;

（3）更新非生成树节点到生成树距离：

利用一个for循环遍历所以非生成树节点，并更新起距离mindist[j] < grid[cur][j] ? Mindist[j] = mindist[j] : mindist[j] = grid[cur][j]

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
    int v, e;
    int x, y, k;
    cin >> v >> e;
    // 填一个默认最大值，题目描述val最大为10000
    vector<vector<int>> grid(v + 1, vector<int>(v + 1, 10001));
    while (e--) {
        cin >> x >> y >> k;
        // 因为是双向图，所以两个方向都要填上
        grid[x][y] = k;
        grid[y][x] = k;

    }
    // 所有节点到最小生成树的最小距离
    vector<int> minDist(v + 1, 10001);

    // 这个节点是否在树里
    vector<bool> isInTree(v + 1, false);

    // 我们只需要循环 n-1次，建立 n - 1条边，就可以把n个节点的图连在一起
    for (int i = 1; i < v; i++) {

        // 1、prim三部曲，第一步：选距离生成树最近节点
        int cur = -1; // 选中哪个节点加入最小生成树
        for (int j = 1; j <= v; j++) { // 1 - v，顶点编号，这里下标从1开始
            //  选取最小生成树节点的条件：
            //  （1）不在最小生成树里
            //  （2）距离最小生成树最近的节点
            //  （3）只要不在最小生成树里，先默认选一个节点，在比较哪一个是最小的
            //  理解条件3 很重要，才能理解这段代码：(cur == -1 || minDist[j] < minDist[cur])
            if (!isInTree[j] && (cur == -1 || minDist[j] < minDist[cur])) {
                cur = j;
            }
        }
        // 2、prim三部曲，第二步：最近节点（cur）加入生成树
        isInTree[cur] = true;

        // 3、prim三部曲，第三步：更新非生成树节点到生成树的距离（即更新minDist数组）
        // cur节点加入之后，最小生成树加入了新的节点，那么所有节点到最小生成树的距离（即minDist数组）需要更新一下
        // 由于cur节点是新加入到最小生成树，那么只需要关心与 cur 相连的非生成树节点的距离是否比原来非生成树节点到生成树节点的距离更小了呢
        for (int j = 1; j <= v; j++) {
            // 更新的条件：
            // （1）节点是非生成树里的节点
            // （2）与cur相连的某节点的权值比该某节点距离最小生成树的距离小
            // 很多录友看到自己就想不明白什么意思，其实就是 cur 是新加入最小生成树的节点，那么所有非生成树的节点距离生成树节点的最近距离由于 cur的新加入，需要更新一下数据了
            if (!isInTree[j] && grid[cur][j] < minDist[j]) {
                minDist[j] = grid[cur][j];
            }
        }
    }
    // 统计结果
    int result = 0;
    for (int i = 2; i <= v; i++) { // 不计第一个顶点，因为统计的是边的权值，v个节点有 v-1条边
        result += minDist[i];
    }
    cout << result << endl;

}

leetcode - 1584:连接所有点的最小费用

就是利用题目中的公式建立邻接矩阵在套用上面的模板即可：

class Solution {
public:
int minCostConnectPoints(vector<vector<int>>& points) {
int n = points.size();
vector<vector<int>> grid(n, vector<int>(n, 0));
// 计算任意两点之间的曼哈顿距离并填充到grid矩阵中
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = i + 1; j < n; j++){
int x = abs(points[i][0] - points[j][0]);
int y = abs(points[i][1] - points[j][1]);
grid[i][j] = grid[j][i] = x + y;
}
}
vector<bool> isvisited(n, false);
vector<int> mindist(n, INT_MAX);
mindist[0] = 0; // 从第一个点开始
int res = 0;
for(int i = 0; i < n - 1; i++){
int cur = -1;
// 选择当前距离生成树最近的节点
for(int j = 0; j < n; j++){
if(!isvisited[j] && (cur == -1 || mindist[j] < mindist[cur])){
cur = j;
}
}
isvisited[cur] = true;
// 更新其他节点到生成树的距离
for(int j = 0; j < n; j++){
if(!isvisited[j] && mindist[j] > grid[cur][j]){
mindist[j] = grid[cur][j];
}
}
}
for(int i = 1; i < n; i++){
res += mindist[i];
}
return res;
}