1 概述

在分治策略中，我们递归地求解一个问题，在每层递归中应用如下三个步骤：

• 分解：将问题划分为一些规模更小形式一样的子问题。
• 解决：递归求解子问题。如果子问题规模足够小，停止递归，直接求解。
• 合并：将子问题的解组合成原问题的解。

当子问题规模足够大，需要递归求解时，我们称之为 递归情况。当子问题变得足够小，不需要递归时，进入 基本情况。有时，除了与原问题形式完全一样的规模更小的子问题外，还需要求解与原问题形式不完全一样的子问题。我们将这些子问题的求解看做合并步骤的一部分。

2 递归式

递归式与分治方法是紧密相关的，因为使用递归式可以很自然地刻画分治算法的运行时间。一个递归式就是一个不等式或等式，它通过更小的输入上的函数值来描述一个函数。

递归式有很多形式。

子问题的规模不必是原问题规模的一个固定比例。

求解递归式的方法，可得出算法$\Theta 或\mathrm{O}$渐进界

• 代入法：我们猜测一个界，然后用数学归纳法证明这个界是正确的。
• 递归树法：将递归式转换为一棵树，其结点表示不同层次的递归调用产生的代价。然后采用边界和技术来求解递归式。
• 主方法：可求解形如下面公司的递归式的界。$T(n)=aT(n/b)+f(n)$ ,其中$a\ge 1,b>1,f(n)$是一个给定的函数。这种形式的递归式很常见，它刻画了一个分治算法：生成a个子问题，每个子问题的规模是原问题规模的$\frac{1}{b}$，分解和合并步骤总共花费时间为$f(n)$

我们遇到不是等式而是不等式的递归式，例如$T(n)\le 2T(n/2)+\Theta (n)$,该递归式描述了$T(n)$的一个上界，可以用$\mathrm{O}$来描述其解。同样的，如果是不等式$T(n)\ge 2T(n/2)+\Theta (n)$，可以用$\Omega$来描述其解。

3 递归式技术细节

在实际应用中，我们会忽略递归式声明和求解的一些技术细节。例如，如果对n个元素调MERGE-SORT,当n位奇数时，两个子问题的规模分别为$\lfloor \frac{n}{2}\rfloor和\lceil\frac{n}{2}\rceil $,准确来说都不是$\frac{n}{2}$.

边界条件是另一类我们同忽略的细节。由于对于一个常量规模的输入，算法的运行时间为常量，因此对于足够小的n，表示算法运行时间的递归式一般为$T(n)=\Theta (1)$.

当声明、求解递归式时，我们常常忽略向下取整、向上取整及边界条件。我们先忽略这些细节，稍后在确定这些细节对结果是否有较大的影响。通常影响不大，但需要知道什么时候影响不大，一方面依靠经验判断，另一个方面，一些定理也表名，对于很多刻画分治算法的递归式，这些细节不会影响其渐进界。

能不能用树形结构+线程池实现递归？

结语

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[1]算法导论(原书第三版)/(美)科尔曼(Cormen, T.H.)等著;殷建平等译 [M].北京:机械工业出版社,2013.1(2021.1重印).p37-38