Eigen稀疏矩阵类 (SparseMatrix)

1. `SparseMatrix` 核心属性与初始化

模板参数

cpp

SparseMatrix<Scalar, Options, StorageIndex>

Scalar：数据类型（如 double, float）。
Options：存储格式（默认 ColMajor，可选 RowMajor）。
StorageIndex：索引类型（通常为 int）。

关键属性

属性	说明	示例
`rows()`	矩阵行数	`int rows = mat.rows();`
`cols()`	矩阵列数	`int cols = mat.cols();`
`nonZeros()`	非零元素数量	`int nnz = mat.nonZeros();`
`isCompressed()`	是否为压缩格式（CRS/CCS）	`bool compressed = mat.isCompressed();`

初始化方式

方法	示例	说明
直接构造	`SparseMatrix<double> mat(100, 100);`	空矩阵（100x100）
三重态列表（Triplet）	见下文	逐元素填充
从稠密矩阵转换	`SparseMatrix<double> sp = dense.sparseView();`	自动过滤零值

2. 核心方法

(1) 元素插入与访问

方法	参数说明	功能	示例
`insert(i, j, value)`	`i`: 行索引，`j`: 列索引，`value`: 值	插入非零元素（若存在则覆盖）	`mat.insert(0, 1) = 3.14;`
`coeffRef(i, j)`	同上	访问/修改元素（若不存在则插入）	`mat.coeffRef(1, 2) += 1.0;`
`makeCompressed()`	无	压缩存储（CRS/CCS格式）	`mat.makeCompressed();`（此后无法插入新元素）
`valuePtr()`, `innerIndexPtr()`, `outerIndexPtr()`	无	获取压缩格式的底层数组指针	用于直接操作底层数据（高级用法）

(2) 矩阵操作

方法	参数说明	功能	示例
`reserve(Size)`	`Size`: 预估非零元素数	预分配内存	`mat.reserve(1000);`
`prune(Scalar, RealScalar)`	阈值和参考值	删除绝对值小于阈值的元素	`mat.prune(1e-5, 0.0);`
`transpose()`	无	返回转置矩阵（视图）	`SparseMatrix<double> matT = mat.transpose();`
`sum()`	无	所有元素求和	`double total = mat.sum();`

(3) 块操作与迭代

方法	参数说明	功能	示例
`block(startRow, startCol, rows, cols)`	起始位置和块大小	返回子矩阵（视图）	`auto submat = mat.block(10, 10, 5, 5);`
`innerVector(outer)`	`outer`: 列号（ColMajor）	返回列/行向量（视图）	`SparseVector<double> col = mat.innerVector(0);`
迭代器（`InnerIterator`）	无	遍历非零元素	见下方代码示例

3. 辅助类：`Triplet`

用于高效构建稀疏矩阵（先收集非零元素，再一次性填充）：

cpp

#include <Eigen/SparseCore>
using namespace Eigen;std::vector<Triplet<double>> triplets;
triplets.push_back(Triplet<double>(0, 1, 3.0));  // (i, j, value)
triplets.push_back(Triplet<double>(1, 2, 4.0));SparseMatrix<double> mat(3, 3);
mat.setFromTriplets(triplets.begin(), triplets.end());

4. 稀疏矩阵分解与求解

求解器类

类名	适用场景	关键方法
`SimplicialLLT`	对称正定矩阵	`compute(mat)` + `solve(b)`
`SparseLU`	通用方阵	`analyzePattern()` + `factorize()`
`ConjugateGradient`	对称正定矩阵（迭代法）	`setTolerance()` + `compute()`

求解示例

cpp

SparseMatrix<double> A;
VectorXd b, x;// 使用 SimplicialLLT 分解
SimplicialLLT<SparseMatrix<double>> solver;
solver.compute(A);
if (solver.info() == Success) {x = solver.solve(b);
}// 使用迭代法（如共轭梯度）
ConjugateGradient<SparseMatrix<double>> cg;
cg.setTolerance(1e-6);
cg.compute(A);
x = cg.solve(b);

5. 代码示例

遍历非零元素

cpp

for (int k = 0; k < mat.outerSize(); ++k) {for (SparseMatrix<double>::InnerIterator it(mat, k); it; ++it) {std::cout << "(" << it.row() << "," << it.col() << ") = " << it.value() << std::endl;}
}

矩阵运算

cpp

SparseMatrix<double> A, B;
A.resize(100, 100);
B.resize(100, 100);
// ... 填充 A 和 B ...// 稀疏矩阵加法
SparseMatrix<double> C = A + B;// 稀疏矩阵乘法
SparseMatrix<double> D = A * B;// 标量乘法
SparseMatrix<double> E = 2.5 * A;

6. 性能优化技巧

预分配内存：通过 reserve() 或 Triplet 避免多次扩容。
压缩存储：操作完成后调用 makeCompressed() 提升计算效率。
选择合适的求解器：
- 对称正定矩阵：优先用 SimplicialLLT 或 ConjugateGradient。
- 非对称矩阵：使用 SparseLU 或 BiCGSTAB。