高中数学联赛模拟试题精选第17套几何题

在四边形 $A BC D$ 中, $A B = A D$ , $\perp AB$ , $\angle DCB$ 的平分线与 $A B$ 交于 $E$ , 过点 $A$ 且垂直于 $C D$ 的直线与 $D E$ 交于 $F$ , $M$ 是 $B D$ 的中点. 求证: $\parallel EC$ .
在这里插入图片描述

(《高中数学联赛模拟试题精选》第17套)

证明:
在这里插入图片描述

延长 $M A$ 交 $(B D C)$ 于点 $N$ , 设 $N$ 在 $A B$ 上的投影为点 $P$ , 以 $A$ 为圆心, $A P$ 为半径作圆, 交 $MP$ 于点 $P$ , $F^{'}$ .

由 $D E$ 平分 $\angle BDC$ 可知 $E D$ 经过点 $N$ .

由 $A B = A C$ , $M$ 是 $BC$ 的中点可知 $\angle BMA=\frac{\pi}{2}=\angle NPB$ , 由此可知 $N$ , $P$ , $M$ , $B$ 四点共圆.

$\angle AEN=\frac{\pi}{2}-\angle BDE=\frac{1}{2}(\pi-\angle BDC)=\angle BNA$ , 所以 $\triangle AEN \sim \triangle ANB$ .

$\angle AF'P=\angle APF=\angle ANB=\angle AEN$ . 由此可知 $EN // PM$ .

下面证明: $F^{'}$ 即为 $F$ . 这只需证明: $AF\bot DC$ 且 $E$ , $F^{'}$ , $C$ 共线.

$\angle F'AM=\angle AF'P-\angle PMA=\angle AEN-\angle PBN=\angle ENB=\angle BCD$ . 结合 $AM\bot BC$ 可知 $\bot DC$ .

$EN / BN = A E / A N = A P / A M = A F^{'} / A M$ , 结合 $\angle F'AM=\angle ENB$ 可知 $\triangle ENB \sim \triangle F'AM$ .

由梅涅劳斯定理, 证明 $E$ , $F^{'}$ , $C$ 共线只需证明: $\frac{PE}{EB}\frac{BC}{CM}\frac{MF'}{F'P}=1$ .

$\frac{PE}{EB}\frac{MF'}{F'P}=\frac{PE}{F'P}\frac{MF'}{EB}=\frac{PE}{F'P}\frac{AF'}{EN}=\frac{PE}{EN}\frac{AF'}{F'P}=\cos \angle PEN \frac{1}{2\cos \angle AF'P}=\frac{1}{2}$ .