2025 年第十五届 MathorCup 数学建模C题完整分析论文

目录

摘 要

一、问题分析

二、问题重述

三、模型假设

四、 模型建立与求解

4.1问题1

4.1.1问题1思路分析

4.1.2问题1模型建立

4.1.3问题1代码（仅供参考）

4.1.4问题1求解结果（仅供参考）

4.2问题2

4.2.1问题2思路分析

4.2.2问题2模型建立

4.2.3问题2代码（仅供参考）

4.2.4问题2求解结果（仅供参考）

4.3问题3

4.3.1问题3思路分析

4.3.2问题3模型建立

4.3.4问题3代码（仅供参考）

4.3.4问题3求解结果（仅供参考）

4.4问题4

4.4.1问题4思路分析

4.4.2问题4模型建立

4.4.3问题4样例代码（仅供参考）

4.4.4问题4求解结果（仅供参考）

五、 模型推广

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摘 要

本论文聚焦于音频文件处理中的关键问题，围绕音频格式评估、压缩参数优化、编码策略选择及噪声分析与去除，综合运用数学建模、信号处理与多指标评价方法，旨在为音频数据在不同应用场景下的高效管理与处理提供理论依据与实践指导，提升音频处理系统的综合性能。

在问题一中，我们针对WAV、MP3、AAC三种主流音频格式在存储效率与音质保真之间的权衡关系，设计了一套综合评价指标体系。该体系引入文件大小、音质损失、编解码复杂度与应用场景匹配度四个维度，采用标准化处理与加权评分的方法构建评价模型，实现对不同音频格式在多场景下的优劣排序与推荐，提升了评估的客观性与实用性。

在问题二中，基于附件1中提供的音频文件，构建了音频参数（如采样率、比特深度、压缩算法）对音质与文件大小影响的关系模型，通过回归分析与曲线拟合等方法，量化各参数对结果的贡献程度。进而提出“音频性价比指标”，用于衡量音频质量与文件体积的平衡。最终对所有参数组合文件进行了排序分析，并分别给出在语音类与音乐类场景下的最优参数配置建议。

在问题三中，我们开发了一种基于音频特征的自适应编码方案，融合频谱特征提取、信号包络分析与分类模型，实现在输入音频时自动判别其类型与特性，并根据预测结果智能选取最优编码参数。实验结果显示，该方法在保证音质保真的前提下有效压缩文件大小，并在多种音频类型中均优于传统固定参数方案，具有良好的通用性与实用价值。

在问题四中，利用时频分析与小波变换等信号处理方法，对附件2中的音频样本进行了详细的噪声识别和分类建模。通过提取背景噪声、突发噪声和带状噪声的时频特征，建立特征参数集合，并据此提出了一种基于噪声类型判别的自适应去噪算法。该算法能根据噪声类型自动选择最合适的滤波器和降噪策略，实验结果表明其在提高信噪比方面具有明显优势，同时分析了算法在不同噪声强度与混合类型下的适用范围与局限性。

本研究以多维度定量分析和算法优化为基础，构建了涵盖评估、优化、识别与处理的完整音频建模体系，具有较强的系统性与推广价值。论文提出的模型不仅可服务于音频压缩与传输，也可为音频处理系统的智能化升级提供参考。

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一、问题分析

问题 1：综合评价指标的设计分析

在音频处理领域，不同的音频格式（如WAV、MP3、AAC）具有不同的特点和适用场景，如何在存储效率与音质保真度之间找到平衡，是本问题的核心。首先，文件大小是一个直接影响存储和传输效率的重要指标。WAV格式通常未经过压缩，导致文件较大，而MP3和AAC等格式采用有损压缩技术，可以显著减小文件大小，但可能会牺牲音质。因此，需要评估不同格式的文件大小，并考虑与原始音频相比的音质损失。音质损失是通过与原始音频的对比，使用信噪比（SNR）等指标量化的。其次，编解码复杂度也是一个不可忽视的因素，尤其是在实时应用或流媒体传输中，编码解码的计算复杂度可能影响系统的性能。最后，适用场景也是设计评价指标时必须考虑的因素，不同格式在流媒体传输、专业录音等场景中的表现有所差异。因此，本问题要求设计一个综合评价指标，综合考虑以上因素，从而为不同场景下的音频格式选择提供理论依据。

问题 2：音频参数与性价比指标的分析

在本问题中，重点分析音频文件的采样率、比特深度、压缩算法等参数对音频质量和文件大小的影响。采样率决定了音频信号采样的频率，直接影响音频的质量和文件大小，较高的采样率通常带来更高的音频质量和更大的文件体积。比特深度则影响音频的动态范围，较高的比特深度能够捕捉更丰富的音频细节。压缩算法，特别是有损压缩算法如MP3和AAC，也会影响音频的文件大小和音质，压缩率越高，音质损失可能越大。因此，设计性价比指标时，需要平衡音质与文件大小之间的关系，考虑到音频内容的不同（如语音和音乐），适当调整参数组合。通过对附件1中音频文件的分析，可以针对音乐和语音内容提出不同的参数选择方案，优化音频质量与文件大小之间的平衡。

问题 3：自适应编码方案设计分析

在本问题中，需要设计一种自适应编码方案，能够自动分析输入音频的特征（如语音或音乐类型、频谱特点、动态范围等），并基于这些特征选择最佳的编码参数。音频的不同特征可能对编码效率产生不同影响，语音通常具有较窄的频谱范围，而音乐包含更多的频率成分，因此，选择合适的编码方式能够在保证音质的前提下减小文件大小。自适应编码方案的设计需要能够实时分析音频特征并动态调整编码参数，而非使用固定的参数设置。通过对附件1中的原始音频样本（如音乐和语音）进行优化，比较自适应编码方案与固定编码参数方案的效果，能够评估该方案在优化文件大小和音质保真度方面的优势和效果。最终，能够为不同类型的音频提供针对性的编码方案，提高编码效率和音质。

问题 4：噪声识别与去噪策略的分析

本问题要求对附件2中的音频文件进行时频分析，并建立数学模型识别并量化各类噪声的特征参数。噪声类型繁多，包括背景噪声、突发噪声、带状噪声等，它们在频谱和时域上表现不同，识别这些噪声的特征参数对于去噪处理至关重要。通过时频分析技术（如短时傅里叶变换或小波变换），可以有效地将噪声与有用信号区分开来。针对不同类型的噪声，提出改进的去噪策略或自适应算法，以便能够根据噪声类型自动选择最优的去噪方法。去噪后的音频文件应通过信噪比（SNR）来评估效果，同时分析在不同噪声强度下去噪算法的适用范围与局限性。通过对样本音频的处理，能够展示不同噪声条件下去噪方法的有效性，并为实际应用中的噪声处理提供理论支持。

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二、问题重述

问题 1：综合评价指标的设计

本问题要求设计一个综合评价指标，用于量化不同音频格式（WAV、MP3、AAC等）在存储效率和音质保真度之间的平衡关系。该指标应综合考虑四个因素：文件大小、音质损失、编解码复杂度以及适用场景。具体而言，需要对比不同格式在存储空间占用上的差异，同时评估它们与原始音频相比的音质损失程度。此外，考虑到不同格式的编解码复杂度，需分析其对计算资源消耗的影响。最后，根据不同的应用场景（如流媒体传输或专业录音等）评估各个格式的适用性，最终提出一个综合的评价模型。

问题 2：音频参数与性价比指标

本问题要求基于附件 1 中的音频文件，建立数学模型，分析采样率、比特深度、压缩算法等参数对音频质量和文件大小的影响。设计一个性价比指标，衡量音质与文件大小的平衡。根据音频文件的不同参数组合（如采样率、比特深度和压缩算法），对附件中的音频文件进行排序，并分别针对音乐和语音内容，提出最佳的参数选择方案。特别是，要排除原始音乐文件和原始语音文件，重点分析在不同参数组合下得到的文件的优化结果。

问题 3：自适应编码方案设计

本问题要求设计一种自适应编码方案，能够分析输入音频的特征，如区分语音和音乐类型、识别频谱特点和动态范围，并据此自动选择最佳的编码参数。方案需要基于这些特征来调整编码参数，优化音频质量与文件大小之间的平衡。通过对附件 1 中提供的原始音乐和语音音频样本进行测试，记录优化后的参数选择、文件大小和音质保真度，并与固定参数方案进行对比，分析自适应编码方案带来的改进和优势。

问题 4：噪声识别与去噪策略

本问题要求基于附件 2 中的音频文件，对样本音频进行时频分析，建立数学模型来识别并量化各类噪声（如背景噪声、突发噪声、带状噪声等）的特征参数。根据不同噪声类型的特点，提出一种改进的去噪策略或自适应算法，能够自动选择最佳的去噪处理方法。处理样本音频后，需在论文中给出每个音频包含的噪声种类，并计算去噪后的信噪比，分析在不同噪声类型和强度下，去噪算法的适用范围与局限性。

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4.2.1问题2思路分析

在本题中，我们面临的核心任务是探讨音频文件的编码参数（包括采样率、比特深度和压缩算法）如何影响音质与文件大小，并在此基础上构建一个衡量音频文件“性价比”的指标体系，从而为语音和音乐两类内容分别推荐最优的参数组合。首先，采样率和比特深度是音频信号采集与还原精度的关键技术指标，采样率越高，能够记录的频率范围越广，比特深度越大，能表达的音频细节和动态范围也越丰富；然而，这两者的增加也必然带来文件体积的显著上升。而压缩算法则是平衡存储与音质的关键手段，不同编码格式如WAV（无压缩）、MP3（有损压缩）、AAC（高效压缩）对原始音频的还原能力及其文件大小表现差异明显。因此，我们的首要任务是定量分析这些参数组合在音质和体积方面的变化趋势。

为此，模型首先需要建立参数与结果之间的映射关系。我们将针对附件1中的音频文件提取其编码参数、计算其文件大小，并采用音质评价指标（如信噪比SNR、均方误差MSE、或主观音质评分MOS等）来评估各音频文件的保真度。利用这些数据，我们可以分析不同采样率、比特深度和压缩方式在音质与体积之间的平衡特点。分析方法可以包括线性或非线性回归建模，也可采用聚类分析或主成分分析等多变量技术，识别出参数变化对音频质量和存储开销的主导影响因素。此过程有助于揭示哪些参数变化是“高代价低收益”的，哪些组合更具效率优势。

接着，我们将构建一个“性价比”指标模型，用于综合评价每组参数配置的表现。该指标的核心思想是，在满足音质要求的前提下尽量降低文件大小，或者在单位文件大小下最大程度保留音质信息。考虑到音质和体积的指标存在量纲不同、变化区间不同的问题，我们首先需要对各评价维度进行标准化处理，然后根据两者的权重（可根据实际应用场景设定或使用熵权法等客观赋权方式）进行加权组合，形成一个可比较的性价比评分。这样，我们可以对所有音频文件在统一标准下进行排序，找出那些既节省存储空间又保证音质的参数组合，从而为后续的推荐提供数据支撑。

最后，由于语音音频和音乐音频在音频特性和听觉敏感度方面存在明显差异，模型还需对二者分别建模分析。语音音频更关注清晰度、语义可辨识度和频谱集中度，过高的采样率或比特深度对其识别准确率提升有限；而音乐音频则需保留更多频率细节和动态变化，对保真度要求更高，压缩容忍度较低。因此，我们将在模型中设立分类维度，分别对语音类和音乐类音频文件进行性价比评分排序，最终输出两个类别下的最优参数推荐方案。这种分类建模的方法不仅提高了模型的针对性和解释力，也更贴合实际应用中对不同内容类型的处理需求。

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4.3.1问题3思路分析

1. 自适应编码方案的设计

目标： 设计一个自适应编码方案，能够根据输入音频的特征自动选择最优的编码参数，以提升音频的存储效率和音质保真度。

为了达到这个目标，我们需要在编码过程中考虑音频的具体特性，例如音频的类型（语音或音乐），频谱特点和动态范围。基于这些特征，编码系统应能够自动选择合适的参数，以优化音频的存储和质量。

2. 音频特征的提取与分析

为了实现自适应编码，我们首先需要对音频文件进行特征分析。这一过程包括但不限于以下几个方面：

- 区分语音与音乐类型： 语音和音乐具有不同的频谱特性。语音信号通常具有较窄的频带，并且频谱主要集中在几百赫兹到几千赫兹之间；而音乐信号则包含了更宽的频谱范围，且包含更多复杂的音调和和声。我们可以使用傅里叶变换或小波变换提取音频的频谱信息，结合机器学习分类方法（如支持向量机、KNN等）来区分语音和音乐。

- 频谱特点分析： 通过对音频信号的频谱进行分析，我们可以识别音频的频率分布特征。比如，音乐通常有更高的频谱复杂度和更多的高频成分，而语音信号的频谱则以中低频成分为主。可以通过频谱的幅度和相位特征来评估。

- 动态范围识别： 动态范围是指音频中最小和最大声音强度的差距。语音信号通常具有较小的动态范围，而音乐信号的动态范围较大。可以通过分析音频信号的响度变化来评估其动态范围。

3. 编码参数的选择

基于提取的音频特征，我们可以为不同类型的音频（语音或音乐）选择最佳的编码参数。常见的编码参数包括：

- 比特率： 对于语音，通常可以选择较低的比特率（如64kbps-128kbps），因为语音的频谱较简单，低比特率就能保留足够的信息；而对于音乐，尤其是复杂的音乐作品，选择较高的比特率（如192kbps-320kbps）更为合适，以保证音质的细节和丰富性。

- 采样率： 对于高质量音乐，通常选择更高的采样率（如44.1kHz或更高），以保留更多的高频信息。而语音则可以选择较低的采样率（如16kHz），以提高编码效率。

- 压缩算法： 基于音频的特性，可以选择不同的压缩算法。例如，MP3、AAC等有不同的压缩效率和质量表现，AAC通常在较低比特率下表现较好，适合于语音，而音乐则可能更适合使用较高质量的编码算法。

4. 实施与优化

一旦确定了音频特征与编码参数的关系，接下来就是应用这一自适应编码方案。

- 对于给定的音频（无论是语音还是音乐），首先通过前述的特征提取方法判断其类型、频谱特征和动态范围。

- 根据分析结果，自动选择合适的编码参数组合（如比特率、采样率和压缩算法）。

- 对比固定参数方案，记录优化后的参数、文件大小和音质保真度。优化的目标是尽可能减小文件大小，同时最大限度地保留音质。

5. 性能对比与结果分析

最后，使用优化后的自适应编码方案对附件 1 中的原始音乐和语音音频样本进行处理，并与固定参数方案进行对比。对比时，主要关注以下几个方面：

- 文件大小： 优化后的方案应该在不显著降低音质的前提下，尽可能减少文件的大小。

- 音质保真度： 通过计算信噪比、MOS评分等方式对音质保真度进行评估，比较优化前后的音质差异。

根据这些对比数据，分析自适应编码方案带来的改进，验证该方案在不同类型音频中的有效性和优越性。

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4.2.3问题2代码（仅供参考）

import pandas as pd

import numpy as np

import os

from datetime import datetime

创建结果文件夹

results_folder = "问题2结果"

if not os.path.exists(results_folder):

os.makedirs(results_folder)

读取数据

file_path = r'C:\Users\18344\Desktop\C题 -数学建模老哥\音频分析结果\音频分析结果.csv'

df = pd.read_csv(file_path)

筛选去除原始音乐和原始语音文件 - 创建副本而不是视图

df_filtered = df[~df['文件名'].str.contains("原始", na=False)].copy()

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4.1.3问题1代码（仅供参考）

import pandas as pd

import matplotlib.pyplot as plt

import seaborn as sns

import numpy as np

from matplotlib.gridspec import GridSpec

import os

创建结果文件夹

output_dir = '问题1结果'

if not os.path.exists(output_dir):

os.makedirs(output_dir)

设置整体风格

plt.style.use('default') 使用默认样式

sns.set_theme(style="whitegrid") 设置seaborn主题

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']

plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

plt.rcParams['figure.facecolor'] = 'white'