MATLAB 控制系统设计与仿真

MATLAB 控制系统设计与仿真 - 37

范数鲁棒控制器的设计

$H_2, H_{\infty}$ 鲁棒控制器的设计

根据双端子状态方程对象模型结构， $H_{\infty}$ 控制器设计的目标是找到一个控制器K(s),它能保证闭环系统的 $H_{\infty}$ 范数限制在一个给定的小整数 $\gamma$ 下，即

$\left \| T_{y_1 u_1}(s)\right \|_{\infty}< \gamma$

这时控制器的状态方程为：

$\dot{x}(t)=A_fx(t)-ZLu(t) \\ y(t)=Kx(t) \\ A_f=A+\gamma ^{-2}B_1B_1^TX+B_2K+ZLC_2 \\ K=-B_2 ^TX,L=-YC_2^T,Z=(I-\gamma ^{-2}YX)^{-1}$

其中X与Y分别为下面两个代数Riccati方程的解。

$A^TX+XA+X(\gamma ^{-2}B_1B_1^Tx-B_2B_2^T)X+C_1C_1^T=0 \\ A^TY+YA+Y(\gamma ^{-2}C_1C_1^Tx-C_2C_2^T)X+B_1B_1^T=0$

$H_{\infty}$ 控制器存在的前提条件为：

在增广矩阵中， $D_{11}$ 足够小，且满足 $D_{11}<\gamma$
控制器Riccati方程的解X为正定矩阵
观测器Riccati方程的解Y为正定矩阵
$\lambda _{max}(XY)<\gamma ^2$ ,即两个Riccati方程的积矩阵的所有特征值均小于 $\gamma ^2$

在上述前提条件下搜索最小的 $\gamma$ 值，则可设计出最优 $H_{\infty}$ 控制器。

$H_2, H_{\infty}$ 鲁棒控制器的实现

对双端子模型G，鲁棒控制工具箱中相应的函数可以直接用于控制器的设计，这些函数的调用格式为：

[K,CL,gamma] = h2syn(G,nmeas,ncont); % nmeas:输出信号y的个数% ncont：控制信号u的个数% K 为优化的控制器状态空间方程% CL为w到z的传递函数% gamma为CL的2范数[K,CL,gamma] = hinfsyn(G,nmeas,ncont); % nmeas:输出信号y的个数% ncont：控制信号u的个数% K 为优化的控制器状态空间方程% CL为w到z的传递函数% gamma为CL的无穷范数

其中控制系统的双端子模型如下所示。

例如：

考虑一下对象模型：

$G(s)=\frac{300}{s^2+1.5s+300} \\ W_1(s)=\frac{100(0.06s+1)^2}{(0.3s+1)^2},\\ W_2(s)=1; \\ W_3(s)=\frac{s^2}{3000}$

试用MATLAB鲁棒控制函数设计 $H_2, H_{\infty}$ 控制器。

首先利用MATLAB函数h2syn计算在优化 $H_2$ norm下的控制器。

MATLAB代码如下：

clear all;clc;
num=300;
den=[1 1.5 300];
G=tf(num,den);
s=tf('s');
W1=100*(0.06*s+1)^2/(0.3*s+1)^2;
W2=1;
W3=s^2/3000;
Tss=augtf(G,W1,W2,W3);
[K,CL,gamma]=h2syn(Tss);
Gc=feedback(G,K);
step(feedback(G*tf(K),1))
grid on

程序运行结果为：

其次利用MATLAB函数hinfsyn计算在优化 $H_{\infty}$ norm下的控制器。

MATLAB代码如下：

clear all;clc;
num=300;
den=[1 1.5 300];
G=tf(num,den);
s=tf('s');
W1=100*(0.06*s+1)^2/(0.3*s+1)^2;
W2=1;
W3=s^2/3000;
Tss=augtf(G,W1,W2,W3);
[K,CL,gamma]=hinfsyn(Tss);
Gc=feedback(G,K);
step(feedback(G*tf(K),1))
grid on

程序运行结果为：