蓝桥杯之递归二

1.数的划分

题目描述

将整数 nn 分成 kk 份，且每份不能为空，任意两份不能相同(不考虑顺序)。

例如：n=7，k=3n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。

1，1，5;1，5，1;5，1，1;1，1，5;1，5，1;5，1，1;

问有多少种不同的分法。

输入描述

输入一行，22 个整数 n,k (6≤n≤200，2≤k≤6)n,k (6≤n≤200，2≤k≤6)。

输出描述

输出一个整数，即不同的分法。

输入输出样例

示例 1

输入

7 3

输出

递归解题思路

看到“整数分拆”问题，直接想到“递归”

递归的核心思想：将大问题分解为小问题，通过解决小问题来构建大问题的解。

递归的终止条件：

当 n 或 m 为 0，或者 n 小于 m 时，分拆方式数量为 0。
当 m 为 1 或 n 等于 m 时，分拆方式数量为 1。

递归的分解逻辑：

不选1的情况：将每个数字减去1，问题转化为 f(n - m, m)。
选1的情况：其中一个数字是1，问题转化为 f(n - 1, m - 1)。

最终结果是两种情况的和：f(n - m, m) + f(n - 1, m - 1)。

解题步骤模板：

public static int f(int n, int m) {// 边界条件if (n == 0 || m == 0 || n < m) {return 0;}if (m == 1 || n == m) {return 1;}// 递归逻辑else {return f(n - m, m) + f(n - 1, m - 1);}
}

示例代码模板：

import java.util.Scanner;public class Main {// 递归函数，用于计算将整数 n 分成 m 份的方式数public static int f(int n, int m) {// 边界条件：当 n 或 m 为 0，或者 n 小于 m 时，分拆方式数量为 0if (n == 0 || m == 0 || n < m) {return 0;}// 当 m 为 1 或 n 等于 m 时，分拆方式数量为 1if (m == 1 || n == m) {return 1;}// 递归逻辑：// 1. 不选1的情况：将每个数字减去1，问题转化为 f(n - m, m)// 2. 选1的情况：其中一个数字是1，问题转化为 f(n - 1, m - 1)// 总分拆方式数量为两者的和else {return f(n - m, m) + f(n - 1, m - 1);}}// 主函数，程序入口public static void main(String[] args) {// 创建 Scanner 对象，用于读取用户输入Scanner sc = new Scanner(System.in);// 读取用户输入的整数 nint n = sc.nextInt();// 读取用户输入的整数 kint k = sc.nextInt();// 调用递归函数 f(n, k)，计算分拆方式数量// 输出结果System.out.println(f(n, k));}
}

思维导图：

训练方法：

理解递归思想：仔细阅读代码，确保理解递归的终止条件和递归逻辑。
手算小例子：选择一个小的例子（如 n = 4，m = 2），手动计算递归调用的过程，然后用代码验证结果。
调试和优化：观察递归调用的深度和次数，尝试用记忆化技术优化代码，避免重复计算。
扩展应用：将代码逻辑应用到其他类似问题，如“将整数分成任意多份”的问题

2.数的计算

题目描述

输入一个自然数 n (n≤1000)n (n≤1000)，我们对此自然数按照如下方法进行处理:

不作任何处理;
在它的左边加上一个自然数,但该自然数不能超过原数的一半;
加上数后,继续按此规则进行处理,直到不能再加自然数为止。

问总共可以产生多少个数。