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为什么 `nn.CrossEntropyLoss` = `LogSoftmax` + `nn.NLLLoss`？

在使用 PyTorch 时，我们经常听说 nn.CrossEntropyLoss 是 LogSoftmax 和 nn.NLLLoss 的组合。这句话听起来简单，但背后到底是怎么回事？为什么这两个分开的功能加起来就等于一个完整的交叉熵损失？今天我们就从数学公式到代码实现，彻底搞清楚它们的联系。

1. 先认识三个主角

要理解这个等式，先得知道每个部分的定义和作用：

nn.CrossEntropyLoss：交叉熵损失，直接接受未归一化的 logits，计算模型预测与真实标签的差距，适用于多分类任务。
LogSoftmax：将 logits 转为对数概率（log probabilities），输出范围是负值。
nn.NLLLoss：负对数似然损失，接受对数概率，计算正确类别的负对数值。

表面上看，nn.CrossEntropyLoss 是一个独立的损失函数，而 LogSoftmax 和 nn.NLLLoss 是两步操作。为什么说它们本质上是一回事呢？答案藏在数学公式和计算逻辑里。

2. 数学上的拆解

让我们从交叉熵的定义开始，逐步推导。

(1) 交叉熵的数学形式

交叉熵（Cross-Entropy）衡量两个概率分布的差异。在多分类任务中：

( $p$ )：真实分布，通常是 one-hot 编码（比如 [0, 1, 0] 表示第 1 类）。
( $q$ )：预测分布，是模型输出的概率（比如 [0.2, 0.5, 0.3]）。

交叉熵公式为：

$-\sum_{c=1}^{C} p_c \log(q_c)$

对于 one-hot 编码，( $p_c$ ) 在正确类别上为 1，其他为 0，所以简化为：

$-\log(q_{\text{correct}})$

其中 ( $q_{\text{correct}}$ ) 是正确类别对应的预测概率。对 ( $N$ ) 个样本取平均，损失为：

$\text{Loss} = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log(q_{i, y_i})$

这正是交叉熵损失的核心。

(2) 从 logits 到概率

神经网络输出的是原始分数（logits），比如 ( $z = [z_1, z_2, z_3]$ )。要得到概率 ( $q$ )，需要用 Softmax：

$q_j = \frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^{C} e^{z_k}}$

交叉熵损失变成：

$\text{Loss} = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log\left(\frac{e^{z_{i, y_i}}}{\sum_{k=1}^{C} e^{z_{i,k}}}\right)$

这就是 nn.CrossEntropyLoss 的数学形式。

(3) 分解为两步

现在我们把这个公式拆开：

第一步：LogSoftmax
计算对数概率：
$\log(q_j) = \log\left(\frac{e^{z_j}}{\sum_{k=1}^{C} e^{z_k}}\right) = z_j - \log\left(\sum_{k=1}^{C} e^{z_k}\right)$
这正是 LogSoftmax 的定义。它把 logits ( $z$ ) 转为对数概率 ( $\log(q)$ )。
第二步：NLLLoss
有了对数概率 ( $\log(q)$ )，取出正确类别的值，取负号并平均：
$\text{NLL} = -\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \log(q_{i, y_i})$
这就是 nn.NLLLoss 的公式。

组合起来：

LogSoftmax 把 logits 转为 ( $\log(q)$ )。
nn.NLLLoss 对 ( $\log(q)$ ) 取负号，计算损失。
两步合起来正好是 ( $-\log(q_{\text{correct}})$ )，与交叉熵一致。

3. PyTorch 中的实现验证

从数学上看，nn.CrossEntropyLoss 的确可以分解为 LogSoftmax 和 nn.NLLLoss。我们用代码验证一下：

import torch
import torch.nn as nn# 输入数据
logits = torch.tensor([[1.0, 2.0, 0.5], [0.1, 0.5, 2.0]])  # [batch_size, num_classes]
target = torch.tensor([1, 2])  # 真实类别索引# 方法 1：直接用 nn.CrossEntropyLoss
ce_loss_fn = nn.CrossEntropyLoss()
ce_loss = ce_loss_fn(logits, target)
print("CrossEntropyLoss:", ce_loss.item())# 方法 2：LogSoftmax + nn.NLLLoss
log_softmax = nn.LogSoftmax(dim=1)
nll_loss_fn = nn.NLLLoss()
log_probs = log_softmax(logits)  # 计算对数概率
nll_loss = nll_loss_fn(log_probs, target)
print("LogSoftmax + NLLLoss:", nll_loss.item())

运行结果：两个输出的值完全相同（比如 0.75）。这证明 nn.CrossEntropyLoss 在内部就是先做 LogSoftmax，再做 nn.NLLLoss。

4. 为什么 PyTorch 这么设计？

既然 nn.CrossEntropyLoss 等价于 LogSoftmax + nn.NLLLoss，为什么 PyTorch 提供了两种方式？

便利性：
nn.CrossEntropyLoss 是一个“一体式”工具，直接输入 logits 就能用，适合大多数场景，省去手动搭配的麻烦。
模块化：
LogSoftmax 和 nn.NLLLoss 分开设计，给开发者更多灵活性：
- 你可以在模型里加 LogSoftmax，只用 nn.NLLLoss 计算损失。
- 可以单独调试对数概率（比如打印 log_probs）。
- 在某些自定义损失中，可能需要用到独立的 LogSoftmax。
数值稳定性：
nn.CrossEntropyLoss 内部优化了计算，避免了分开操作时可能出现的溢出问题（比如 logits 很大时，Softmax 的分母溢出）。

5. 为什么不直接用 Softmax？

你可能好奇：为什么不用 Softmax + 对数 + 取负，而是用 LogSoftmax？
答案是数值稳定性：

单独计算 Softmax（指数运算）可能导致溢出（比如 ( $e^{1000}$ )）。
LogSoftmax 把指数和对数合并为 ( $z_j - \log(\sum e^{z_k})$ )，计算更稳定。

6. 使用场景对比

nn.CrossEntropyLoss：
- 输入：logits。
- 场景：标准多分类任务（图像分类、文本分类）。
- 优点：简单直接。
LogSoftmax + nn.NLLLoss：
- 输入：logits 需手动转为对数概率。
- 场景：需要显式控制 Softmax，或者模型已输出对数概率。
- 优点：灵活性高。

7. 小结：为什么等价？

数学上：交叉熵 ( $-\log(q_{\text{correct}})$ ) 可以拆成两步：
1. LogSoftmax：从 logits 到 ( $\log(q)$ )。
2. nn.NLLLoss：从 ( $\log(q)$ ) 到 ( $-\log(q_{\text{correct}})$ )。
实现上：nn.CrossEntropyLoss 把这两步封装成一个函数，结果一致。
设计上：PyTorch 提供两种方式，满足不同需求。