计算机组成原理——数据表示（一）

生活是一道长长的旅程，充满了挑战和困难。然而，我们必须坚持下去，努力前进。无论遇到什么困难，我们都要勇敢面对，永不放弃。只有通过不断的努力和坚持，我们才能够取得成功。在这个旅程中，我们可能会失败，但失败并不可怕，只要我们愿意从失败中吸取教训，不断改进自己，我们就一定能够找到成功的道路。成功不是一蹴而就的，它需要我们付出持久的努力和毅力。在困难面前，我们要保持积极的心态，坚信自己的能力，并将困难视为机会去成长和进步。我们要相信自己的潜力和能力，相信未来的美好。只有不停地努力和奋斗，我们才能够实现自己的梦想，创造属于自己的辉煌。让我们一起努力，不断追求进步，勇往直前，向着成功的目标前进！

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1.1 数制与编码

1.1.1 常用的进位计数制及其相互转换

1.1.2 BCD码 (Binary-Coded Decimal)

1.1.3 字符与字符串

1.1.4 汉字编码

1.1.5 校验码

1.1.6 真值和机器数

1.1 数制与编码

1.1.1 常用的进位计数制及其相互转换

定义： 进位计数制是表示数值的一种方法，每个数字的位置决定了它的权重。常用的进位计数制包括：

二进制（Binary）： 只有0和1两个数字，基数为2。
八进制（Octal）： 使用0到7八个数字，基数为8。
十进制（Decimal）： 我们日常生活中最常用的计数系统，使用0到9十个数字，基数为10。
十六进制（Hexadecimal）： 使用0到9和A到F共十六个符号，其中A到F分别代表10到15，基数为16。

相互转换：

十进制转其他进制： 以转换为二进制为例，通过除基取余法进行转换。例如，将十进制数42转换为二进制：
- 42 ÷ 2 = 21...0
- 21 ÷ 2 = 10...1
- 10 ÷ 2 = 5...0
- 5 ÷ 2 = 2...1
- 2 ÷ 2 = 1...0
- 1 ÷ 2 = 0...1
- 结果为101010，从下往上读取余数。
其他进制转十进制： 使用按权展开求和法。例如，将二进制数101010转换为十进制：
- 1×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20=32+0+8+0+2+0=421×25+0×24+1×23+0×22+1×21+0×20=32+0+8+0+2+0=42
二进制与八进制/十六进制之间的转换： 直接分组转换。因为8 = 2^3，所以每三位二进制数可以转换成一位八进制数；同样地，由于16 = 2^4，每四位二进制数可以转换成一位十六进制数。例如，将二进制数101010转换为八进制：
- 101 010 → 52
- 将二进制数101010转换为十六进制：
- 0010 1010 → 2A

1.1.2 BCD码 (Binary-Coded Decimal)

定义： BCD码是一种特殊的二进制编码方式，用来表示十进制数。每一位十进制数用4位二进制数表示（0000到1001），因此一个字节可以表示两位十进制数。

例子：

十进制数56在BCD码中表示为0101 0110。

特点：

直观易懂，便于人们阅读和理解。
在某些应用场景下（如金融计算）避免了二进制浮点运算带来的精度损失。

1.1.3 字符与字符串

字符编码：

计算机内部使用特定的编码方案来表示字符。最常用的是ASCII（American Standard Code for Information Interchange）和Unicode标准。
- ASCII： 使用7位或8位二进制数表示128或256个不同的字符，包括字母、数字、标点符号等。例如，字母'A'在ASCII中的编码是01000001。
- Unicode： 支持更多的字符集，特别是非拉丁文字符，如中文、日文等。UTF-8是变长编码，对于ASCII字符占用1个字节，而对于其他字符（如汉字）则可能需要2到4个字节。

字符串：

字符串是由多个字符组成的序列。例如，在Python中，字符串可以用引号括起来表示：
```
s = "Hello, World!"
```

1.1.4 汉字编码

定义： 汉字编码是指如何用计算机可以识别的方式表示汉字。早期有GB2312、GBK等编码标准，现在普遍采用UTF-8、UTF-16等更通用的Unicode编码。

例子：

UTF-8编码下的“你好”：
- “你”的UTF-8编码可能是E4 BD A0（具体取决于实现）。
- “好”的UTF-8编码可能是E5 A5 BD。

特点：

UTF-8是变长编码，对于ASCII字符占用1个字节，而对于其他字符（如汉字）则可能需要2到4个字节。
它兼容ASCII，同时能够表示全世界几乎所有语言的文字。

1.1.5 校验码

定义： 校验码是为了检测传输错误而附加的数据。它可以是奇偶校验、循环冗余校验（CRC）等形式。

应用：

在数据通信中，发送端会根据一定规则生成校验码并附带在数据后面一起发送；接收端收到数据后重新计算校验码并与接收到的进行对比，如果不一致则说明数据可能出错。

例子：

奇偶校验： 如果使用偶校验，那么所有有效位加上校验位应该包含偶数个1。例如，数据1010（有两个1）加上偶校验位后变为10100（仍然是两个1）。
循环冗余校验（CRC）： CRC是一种更为复杂的校验方法，它基于多项式除法原理，能提供更高的检错能力。例如，Ethernet帧尾部的FCS字段就是通过CRC算法计算出来的。

1.1.6 真值和机器数

真值： 真值是指实际存在的数值，即我们在日常生活和数学中使用的数字，可以是正数、负数或零。

机器数： 机器数是计算机内部用来表示数值的形式，采用二进制表示法。由于计算机硬件基于二进制逻辑工作，所有数据必须以机器数形式存储和处理。

无符号数： 只能表示非负数，每一位都用于表示数值大小，没有专门的符号位。
有符号数： 可以表示正数和负数，最高位通常作为符号位，0 表示正数，1 表示负数。
- 原码： 符号位加上绝对值的二进制表示。例如，8位二进制中的+5为00000101，-5为10000101。
- 反码： 正数的反码等于其原码；负数的反码是在原码基础上，除了符号位外，其余各位取反。例如，-5的反码为11111010。
- 补码： 是最常用的表示方式。正数的补码等于其原码；负数的补码是在其反码的基础上加1。例如，-5的补码为11111011。

计算示例：

从真值到机器数（补码）的转换：
- 转换十进制数-5为8位二进制补码：
  1. 先将5转换为二进制：00000101
  2. 对这个二进制数取反：11111010
  3. 加1：11111011
从机器数（补码）到真值的转换：
- 解释8位二进制补码11111011：
  1. 检查符号位，最高位是1，说明这是一个负数。
  2. 减1后对剩余部分取反：11111010 -> 00000101
  3. 将结果转换回十进制，并加上负号：-5