3.2 关联矩阵与状态方程

正如 Petri 网的一个标识可以表示成一个 $ m $ 维非负整数向量一样，Petri 网的结构也可以用一个矩阵来表示。这样，就可以引入线性代数的方法对 Petri 网的性质进行分析。

定义 3.3 关联矩阵

设 $\Sigma =(S,T;F,M)$ 为一个 Petri 网， S = { s 1 , s 2 , … , s m } S = \{s_1, s_2, \ldots, s_m\} S={s1​,s2​,…,sm​}， T = { t 1 , t 2 , … , t n } T = \{t_1, t_2, \ldots, t_n\} T={t1​,t2​,…,tn​}，则 Petri 网 $\Sigma$ 的结构 $(S,T;F)$ 可以用一个 $n$行 $m$ 列矩阵

a i j = a i j + − a i j − , i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } , j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , m } a_{ij}=a_{ij}^{+}-a_{ij}^{-},\quad i\in\{ 1,2,\cdots,n \}, j\in\{ 1,2,\cdots,m \} aij​=aij+​−aij−​,i∈{1,2,⋯,n},j∈{1,2,⋯,m}

a i j + = { 1 , 若 . ( t i , s j ) ∈ F , 0 , 否则 , i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } , j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , m } a_{ij}^{+}=\left\{\begin{array}{ll}{1, \stackrel{.}{\textrm{若}}(t_{i},s_{j})\in F,}\\{0, \textrm{否则},}&{i\in\{ 1,2,\cdots,n \}, j\in\{ 1,2,\cdots,m \}}\\\end{array}\right. aij+​={1,若.(ti​,sj​)∈F,0,否则,​i∈{1,2,⋯,n},j∈{1,2,⋯,m}​

a i j − = { 1 , 若 ( s j , t i ) ∈ F , 0 , 否则 , i ∈ { 1 , 2 , ⋯   , n } , j ∈ { 1 , 2 , ⋯   , m } \left.a_{ij}^{-}=\left\{\begin{array}{ll}{1, \text{若} (s_{j},t_{i})\in F,}\\{0, \text{否则},}&{i\in\{ 1,2,\cdots,n \}, j\in\{ 1,2,\cdots,m \}}\\\end{array}\right.\right. aij−​={1,若(sj​,ti​)∈F,0,否则,​i∈{1,2,⋯,n},j∈{1,2,⋯,m}​

称 $A$ 为 $\Sigma$（或网 $N=(S,T;F)$）的关联矩阵（incidence matrix）。

矩阵信息：行名是每个变迁，列名是每个库所，其中中间的值为当前需要消耗或者产生几个token

对 Petri 网的关联矩阵，不少文献采用另一种定义方式：把 $A$ 的转置矩阵定义为 $\Sigma$ 的关联矩阵，并记为 $C$（见 [1, 6]）。也就是说一个有 $m$ 个库所和 $n$ 个变迁的 Petri 网的关联矩阵是一个 $m\times n$ 行列 0/1 矩阵。

易知，在纯网范围内，关联矩阵和网结构之间存在着一一对应关系。这是因为对纯网来说，任一个变迁和任一个库所之间最多有一个弧，不会出现 $a_{ij}^{+}$ 和 $a_{ij}^{-}$ 相互抵消的情况。

今后我们用关联矩阵讨论 Petri 网的性质时，均假设所讨论的网为纯网。

为讨论方便，我们引入两个 $n\times m$ 矩阵

$$A^{+}=[a_{ij}^{+}{]}_{n\times m},A^{-}=[a_{ij}^{-}{]}_{n\times m}$$

并分别称它们为 $\Sigma$ 1（或网 $N=(S,T;F)$）的输出矩阵和输入矩阵。分别用 $A_{i\ast }$, $A_{i\ast }^{+}$ 和 $A_{i\ast }^{-}$ 分别表示矩阵 $A$, $A^{+}$ 和 $A^{-}$ 的第 $i$ 行形成的行向量，用 $A_{\ast j}$, $A_{\ast j}^{+}$ 和 $A_{\ast j}^{-}$ 表示矩阵 $A$, $A^{+}$ 和 $A^{-}$ 的第 $j$ 列形成的列向量。$\Sigma$ 的标识 $M$ 仍用 $m$ 维非负整数向量来表示。不过在本节中，我们把 $M$ 表示成一个列向量，即

$$M=[M(s_1),M(s_2),\dots ,M(s_m){]}^T$$

其中右上角的 T 为矩阵（向量）的转置。

+是输出，-是输入

i*表示第i行行向量

*j表示第j列列向量

$A^{+}=[a_{ij}^{+}{]}_{n\times m}$ 表示整个图发生某一个变迁后他所需要增加token总信息表

$A^{-}=[a_{ij}^{-}{]}_{n\times m}$ 表示整个图发生某一个变迁后他所需要消耗的token总信息表

引理 3.4

设 $\Sigma =(S,T;F,M)$ 为一个 Petri 网，$A$ 为 $\Sigma$ 的关联矩阵，$t_i\in T$，则 $M[t_i⟩$ 的充分必要条件是$ M \geq A^-_{i*} $

(3.12) 式是两个 $m$ 维向量的比较，它的含义是 $M(j)\ge a_{ij},j=1,2,\cdots ,m$。

其中大于等于号表示只比较变迁i所需要消耗的，表明该状态token数不少于需要发生的$t_i$所需要的token，所以可以发生

证明 由定义 1.9 及本节关于 $A_{i\ast }$ 和 $M$ 的定义可得。 □

引理 3.5

设 $\Sigma =(S,T;F,M)$ 为一个 Petri 网，$A$ 为 $\Sigma$ 的关联矩阵。如果 M [ t i > M ′ M[t_i > M' M[ti​>M′<