题目描述

一个机器人位于一个 $m\times n$ 网格的左上角（起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或向右移动一步。机器人试图到达网格的右下角（标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 表示。
问总共有多少条不同的路径从左上角到右下角？

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示例 1:

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：
3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角的总共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1

提示:

• $m==obstacleGrid.length$
• $n==obstacleGrid[i].length$
• $1\le m,n\le 100$
• obstacleGrid[i][j] 为 0 或 1。

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解题思路

这一题的核心思路是动态规划，但需要处理障碍物。障碍物会使路径数变为 0，因此在动态规划中需要特别处理障碍物的情况。

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动态规划解法

1. 定义状态：

   • 令 dp[i][j] 表示从起点到网格位置 $(i,j)$ 的不同路径数。

2. 状态转移方程：

   • 如果当前网格位置 $(i,j)$ 没有障碍物：
     dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]
   • 如果当前网格位置 $(i,j)$ 有障碍物：
     dp[i][j] = 0

3. 初始化：

   • 如果起点 obstacleGrid[0][0] == 1，直接返回 0，因为起点被障碍物挡住。
   • 第一行和第一列的路径数需要单独处理，只有在没有障碍物的情况下路径数为 1，否则为 0。

4. 结果：

   • 最终答案为 dp[m-1][n-1]。

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C 代码实现

二维动态规划

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>int uniquePathsWithObstacles(int** obstacleGrid, int obstacleGridSize, int* obstacleGridColSize) {int m = obstacleGridSize;       // 行数int n = *obstacleGridColSize;   // 列数// 如果起点有障碍物，直接返回 0if (obstacleGrid[0][0] == 1) {return 0;}// 动态规划数组int dp[m][n];// 初始化dp[0][0] = 1; // 起点路径数为 1for (int i = 1; i < m; i++) {dp[i][0] = (obstacleGrid[i][0] == 1) ? 0 : dp[i-1][0];}for (int j = 1; j < n; j++) {dp[0][j] = (obstacleGrid[0][j] == 1) ? 0 : dp[0][j-1];}// 动态规划计算for (int i = 1; i < m; i++) {for (int j = 1; j < n; j++) {if (obstacleGrid[i][j] == 1) {dp[i][j] = 0; // 有障碍物，路径数为 0} else {dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];}}}// 返回右下角的路径数return dp[m-1][n-1];
}int main() {int grid[3][3] = {{0, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 0}};int* gridPointer[3] = {grid[0], grid[1], grid[2]};int cols = 3;printf("不同路径的数量: %d\n", uniquePathsWithObstacles(gridPointer, 3, &cols));return 0;
}