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多层感知机（MLP）

多层感知机（MLP）是一种经典的前馈神经网络（Feedforward Neural Network），通常用于解决分类、回归、监督学习任务。它由一个输入层、一个或多个隐藏层和一个输出层组成。

网络结构

• 输入层：接收数据输入，特征维度等于数据的特征数。

• 隐藏层：一个或多个隐藏层，每层包含若干个神经元，负责提取数据的特征。

• 输出层：根据任务（分类或回归）输出最终的结果。

主要参数

• 权重（Weights）：连接各层神经元的参数，决定信号的强弱。

• 偏置：为每个神经元添加额外的灵活性。

• 超参数：学习率、隐藏层数、每个隐藏层的神经元数等

特别强调：每个神经元之间的权重和偏置绝大多数时候不相同！！！

核心步骤

以隐藏层只有一层为例。

（一）初始化权重和偏置

初始化权重和偏置矩阵。即对每个神经元之间的权重和偏置随机设定一个初始值。

1.1 避免对称性问题

如果所有权重都初始化为相同的值（比如都为0），反向传播计算的梯度对所有权重的更新将是完全相同的。这会导致所有神经元学习到相同的特征，从而失去模型的表达能力。

1.2 权重的初始化

权重的初始化影响网络的输入和输出值的分布。如果初始化值过大，可能导致激活函数的输出进入饱和区（如Sigmoid激活函数趋近于0或1），使得梯度变得极小，网络难以训练（梯度消失问题）。如果初始化值过小，网络学习速度会很慢。

权重可以初始化为均值为0的小随机值。

常见方法包括：

• 均匀分布：随机生成值在 [−a,a] 区间内。

• 正态分布：随机生成值符合 。

1.3 偏置的作用

偏置的初始化相对简单，通常设为零或一个小的随机值即可。它的作用是为神经元提供一个额外的自由度，允许模型学习非零输出。

（二）选择损失函数、激活函数

对于分类问题，常用交叉熵损失函数，对于回归问题，常用均方误差损失函数。以MSE损失函数为例，我们假定损失函数为L：

其中，  是预测值， 是真实标签。

激活函数的选择参考文章：常见的激活函数

（三）前向传播

1、从输入层到隐藏层

假设输入层的神经元为 ，隐藏层的神经元为 ​（隐藏层有 k 个神经元）。输入到第 j 个隐藏层神经元 hj 的计算公式如下：

其中：

• 是第 j 个隐藏层神经元与第 i 个输入神经元之间的权重。

• xi​ 是输入层第 i 个神经元的输入值。

• bj​ 是第 j 个隐藏层神经元的偏置。

经过激活函数 ，得到隐藏层神经元的输出：

2、从隐藏层到输出层

隐藏层的输出 ​ 将作为输入传递到输出层的神经元。假设输出层有 m 个神经元，输出层的第  个神经元的计算公式为：

其中：

•  是第  个输出层神经元与第 i 个隐藏层神经元之间的权重。

• ​ 是隐藏层第 i 个神经元的输出值。

• ​ 是第  个输出层神经元的偏置。

同样，经过激活函数（通常是Softmax或Sigmoid）后，得到输出层的输出：

反向传播与权重更新

（四）误差计算与反向传播

训练MLP时，使用反向传播算法来更新网络中的权重和偏置。反向传播算法基于链式法则计算损失函数对每个权重和偏置的梯度，然后使用梯度下降法（默认使用全批量梯度下降）来更新参数。

假设损失函数为 L，权重为 w，偏置为 b，则每个权重和偏置的更新规则为：

其中 η 是学习率， 和 ​ 是损失函数关于权重和偏置的偏导数。

（五）迭代过程

重复步骤三和步骤四，不断迭代更新权重和偏置。

终止条件：达到最大迭代次数、损失收敛、目标性能达标等。

注：整个过程只以一个隐藏层为例，如果有多个隐藏层，从隐藏层到隐藏层之间的传递也是类似的。也是以上一层的输出作为该层的输入，并通过激活函数将该层输入转化为该层的输出；其次就是注意每个神经元之间的权重和偏置不一样。

MLP优缺点总结

        MLP 是一种通用的神经网络模型，广泛用于分类、回归、特征提取和强化学习等任务。尽管它的能力和表现已经被更复杂的模型（如卷积神经网络 CNN 和循环神经网络 RNN）在某些领域超越，但由于其简单性和强大的非线性拟合能力，MLP仍然是很多基础任务和小型数据集问题中的首选模型。同时，它常常作为其他复杂模型中的子模块，为解决复杂问题提供基础支持。

 

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