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高阶数据结构——图

连通图中的每一棵生成树，都是原图的一个极大无环子图，即：从其中删去任何一条边，生成树 就不在连通；反之，在其中引入任何一条新边，都会形成一条回路。

若连通图由n个顶点组成，则其生成树必含n个顶点和n-1条边。

因此构造最小生成树的准则有三 条：

1. 只能使用图中的边来构造最小生成树

2. 只能使用恰好n-1条边来连接图中的n个顶点

3. 选用的n-1条边不能构成回路

构造最小生成树的方法：Kruskal算法和Prim算法。这两个算法都采用了逐步求解的贪心策略。 贪心算法：是指在问题求解时，总是做出当前看起来最好的选择。也就是说贪心算法做出的不是 整体

最优的的选择，而是某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有的问题都能得到整体最优 解。

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一、kruskal算法

任给一个有n个顶点的连通网络N={V,E}， 首先构造一个由这n个顶点组成、不含任何边的图G={V,NULL}，其中每个顶点自成一个连通分 量，

其次不断从E中取出权值最小的一条边(若有多条任取其一)，若该边的两个顶点来自不同的连通分 量，则将此边加入到G中。如此重复，直到所有顶点在同一个连通分量上为止。

核心：每次迭代时，选出一条具有最小权值，且两端点不在同一连通分量上的边，加入生成树。

在邻接矩阵中找边权最小的边

		struct Edge{size_t srci;size_t dsti;W w;Edge(size_t _srci, size_t _dsti, W _w):srci(_srci), dsti(_dsti), w(_w){}bool operator>(const Edge& e) const{return _w > e._w;}};W Kruskal(Self& minTree)//{//选最短的边//判断选的边在不在同一个集合内size_t n = _vertexs.size();mintree._vertexs = _vertexs;mintree._vIndexMap = _vIndexMap;for (int i = 0; i < n; i++){minTree._matrix[i].resize(n,MAX_W);}priority_queue<Edge,vector<Edge>, greater<Edge>> minque;for (int i = 0; i < n; i++){for (int j = 0; j < n; j++){if (i < j &&_matrix[i][j] != MAX_W){minque.push(Edge(i, j, _matrix[i][j]));}}}int size = 0;W totalW = W();UnionFindSet ufs(n);while (!minque.empty()){Edge mix = minque.top();minque.pop();if (!ufs.InSet(min._srci, min._dsti)){//cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] <<":"<<min._w << endl;minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);ufs.Union(min._srci, min._dsti);++size;totalW += min._w;}else{//cout << "构成环：";//cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl;}}if (size == n - 1){return totalW;}else{return W();}}

UnionFindSet在上一篇博客的并查集当中所讲到。kruskal算法就是并查集的思想。

二、Prim算法

W Prim(Self& minTree, const W& src)
{size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t n = _vertexs.size();minTree._vertexs = _vertexs;minTree._indexMap = _indexMap;minTree._matrix.resize(n);for (size_t i = 0; i < n; ++i){minTree._matrix[i].resize(n, MAX_W);}/*set<int> X;set<int> Y;X.insert(srci);for (size_t i = 0; i < n; ++i){if (i != srci){Y.insert(i);}}*/vector<bool> X(n, false);vector<bool> Y(n, true);X[srci] = true;Y[srci] = false;// 从X->Y集合中连接的边里面选出最小的边priority_queue<Edge, vector<Edge>, greater<Edge>> minq;// 先把srci连接的边添加到队列中for (size_t i = 0; i < n; ++i){if (_matrix[srci][i] != MAX_W){minq.push(Edge(srci, i, _matrix[srci][i]));}}cout << "Prim开始选边" << endl;size_t size = 0;W totalW = W();while (!minq.empty()){Edge min = minq.top();minq.pop();// 最小边的目标点也在X集合，则构成环if (X[min._dsti]){//cout << "构成环:";//cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl;}else{minTree._AddEdge(min._srci, min._dsti, min._w);//cout << _vertexs[min._srci] << "->" << _vertexs[min._dsti] << ":" << min._w << endl;X[min._dsti] = true;Y[min._dsti] = false;++size;totalW += min._w;if (size == n - 1)break;for (size_t i = 0; i < n; ++i){if (_matrix[min._dsti][i] != MAX_W && Y[i]){minq.push(Edge(min._dsti, i, _matrix[min._dsti][i]));}}}}if (size == n - 1){return totalW;}else{return W();}
}

	void PrintShortPath(const V& src, vector<W>& dist, const vector<int>& pPath){size_t srci = GetVertexIndex(src);size_t n = _vertexs.size();for (size_t i = 0; i < n; ++i){if (i != srci){// 找出i顶点的路径vector<int> path;size_t parenti = i;while (parenti != srci){path.push_back(parenti);parenti = pPath[parenti];}path.push_back(srci);reverse(path.begin(), path.end());for (auto index : path){cout << _vertexs[index] << "->";}cout << dist[i] << endl;}}}

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