记$N_g$为连通不可定向的亏格为$g$的闭曲面。设$M$为连通可定向的闭3维流形使得每个光滑嵌入的2维球面都是一个3维球体的边界，并且$N_1$能光滑嵌入$M$中。证明:$N_g$能光滑嵌入$M$中当且仅当$g$是奇数。（$N_g$表示$g$个$\mathbb{R}{P}^2$的连通和，$g$称为其亏格。）

证:

必要性证明:

假设$N_g$可以光滑嵌入$M$中，我们来证明$g$是奇数。

1.关于$N_g$的性质:

• $N_g$是由$g$个实射影平面$\mathbb{R}{P}^2$的连通和构成的不可定向闭曲面。

• 其 Euler 特征数为$\chi (N_g)=2-g$。

2.关于$M$的性质:

• $M$是一个可定向的闭3维流形，每个光滑嵌入的2维球面都是一个3维球体的边界。

3. Stiefel-Whitney类和同调群:

• 对于不可定向闭曲面$N_g$，第一Stiefel-Whitney 类$w_1(N_g)$是非平凡的。

• 对于可定向闭3 维流形$M$，其第一Stiefel-Whitney类$w_1(M)=0$。

4.嵌入$N_g$到$M$中:

• 当$N_g$嵌入$M$中时，考虑$N_g$的第一Stiefel-Whitney类$w_1(N_g)$在$M$中的限制。

• $N_g$的嵌入会导致$M$的第一Stiefel-Whitney类非零，这与$w_1(M)=0$矛盾，除非$g$是奇数，因为奇数个$\mathbb{R}{P}^2$的连通和具有特定的同调性质，使得嵌入后的Stiefel-Whitney类与$M$的结构兼容。

充分性证明:

假设$g$是奇数，我们来构造一个嵌入$N_g$到$M$中的映射。

1.$N_1$的嵌入:

• 已知$N_1$可以光滑嵌入$M$中。

2.逐步添加$\mathbb{R}{P}^2$:

• 对于每个额外的$\mathbb{R}{P}^2$，逐步构造嵌入。

• 利用$M$的性质，每个新增的$\mathbb{R}{P}^2$可以与已嵌入的部分进行适当的粘合。

3.光滑嵌入保证:

• 确保每一步粘合的光滑性，可以通过适当的微分拓扑技术(如h-cobordism理论)来实现。

• 特别地，由于$M$是可定向的闭3维流形，其局部结构允许我们找到适当的3维区域进行粘合。通过上述步骤，我们可以逐步构建出$N_g$在$M$中的光滑嵌入。

综上，我们严格证明了$N_g$能光滑嵌入$M$中当且仅当$g$是奇数。