一、定义
设R是一个整环，如果有一个域F使得从R到F有一个单的环同态，并且F中的每一个元素都可以表示成σ(a)σ(b)^(-1)的形式，其中a∈R，b∈R*（R的非零元构成的乘法群），那么把F称为R的分式域。
二、构造方法
等价类构造法：
- 令T=R×R*，在T上定义一个二元关系“”如下：(a,b)(c,d)当且仅当ad=bc。
- 容易验证，“~”是一个等价关系。
- 把(a,b)的等价类记作ab（或写作a/b，但此时仅为形式表示，并非真正的除法运算）。
- 把商集T/~记作F，在F中规定：ab+cd=ad+bc/bd，ab·cd=ac/bd。
- 可以验证，上述F中定义的加法和乘法都满足交换律、结合律，并且适合乘法分配律。
- 此时，F就是一个域，且是R的分式域。
局部化构造法：
- 给定整环R的一个乘法子集S（通常取为R的非零元构成的集合R*）。
- 考虑乘积幺半群R×S，定义其上的二元关系“”为：(a,s)(a',s')当且仅当存在t∈S，使得t(as'-a's)=0。
- 可以验证，“~”是一个同余关系。
- 记(a,s)所在的等价类为a/s，则可定义加法：a/s+a'/s'=as'+a's/ss'。
- 使得商集(R×S)/~是一个交换幺环，称为R过S的局部化，记为S^(-1)R。
- 当S取为R*时，S^(-1)R就是R的分式域。
三、性质
- 唯一性：整环R的分式域在环同构的意义下是唯一的。
- 最小性：分式域是包含整环R的最小域。也就是说，如果K是包含R的域，那么R的分式域可以视为K的子域。
- 嵌入性：存在自然的映射ι：R→F，a↦a/1，这是一个单的环同态。因此，可以把R“嵌入”到它的分式域F中。
四、应用
- 域论：分式域是域论中的一个重要构造，用于研究域的扩张和性质。
- 代数几何：在代数几何中，分式域的概念与代数曲线的函数域密切相关。
- 数论：在数论中，有理数域Q可以看作是整数环Z的分式域，这一构造有助于理解有理数的性质和运算。
结语
成功并不是终点
失败并不是终结
只有勇气才是永恒
！！！
