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一、定义
同余的概念很简单：给定三个整数$a,b,n$，如果$n|(a-b)$，那么$a$模$n$同余$b$。记作$a=b(modn)$。

注意这里并没有限制$a,b,n$数值的大小关系。
示例：
$29=1(mod7);5=14(mod9)$

二、性质
1.自反性：$a=a(modn)$
2.对称性：$a=b(modn)\to b=a(modn)$
3.传递性：$a=b(modn),b=c(modn)\to a=c(modn)$

证明：这三点全部用概念证明就行
1.$n|(a-a)=0$，即$0=0\ast n$
2.$n|(a-b)\to a-b=kn\to b-a=-kn\to n|(-kn)=(b-a)$
3.$a-b=rn,b-c=kn\to a-c=(r+k)n\to n|(a-c)$

4.$ad=bd(modn),gcd(d,n)=1$，那么$a=b(modn)$
证：$n|(a-b)d$,因$gcd(d,n)=1$，所以$n|a-b$
(里面的一步已经证过了，这里再写一遍：$n|ab,gcd(a,n)=1$，那么$n|b$。证：$ax+ny=1$两边乘以$b$,$abx+bny=b$，所以$n|b$)

5.$a=b(mod{n}_1),a=b(mod{n}_2)$，那么$a=b(modlcm(n_1,n_2))$
证：$n_1|(a-b),n_2|(a-b)$，令$t=a-b$。设$t=qlcm(n_1,n_2)+r$，则$r=t-qlcm(n_1,n_2)$.因$n_1|t,n_2|t,n_1|lcm(n_1,n_2),n_2|lcm(n_1,n_2)$，由整除知$n_1|r,n_2|r$。

$r$同样也是$n_1,n_2$公倍数，而$r$是余数，满足$0\le r<lcm(n_1,n_2)$，所以$r=0$，所以$lcm(n_1,n_2)|a-b$

性质5可扩展到多个模数$n_1,..n_t$同样成立。