目录
一、基本思想
二、动图演示(hoare版)
三、思路分析(图文)
四、代码实现(hoare版)
五、易错提醒
六、相遇场景分析
6.1 ❥ 相遇位置一定比key要小的原因
6.2 ❥ 右边为key,左边先走
6.3 ❥ 一边为key,另一边先走的原因
七、时间复杂度分析
八、快排的优化
8.1 ❥ key值的选取
8.1.1 随机数选key
8.1.2 三数取中
8.2 ❥ 小区间优化
九、挖坑法
9.1 ❥ 动图演示
9.2 ❥ 思路详解
9.3 ❥ 代码实现
十、前后指针法
10.1 ❥ 动图演示
10.2 ❥ 思路详解
10.3 ❥ 代码实现
一、基本思想
快速排序是Hoare于1962年提出的一种二叉树结构的交换排序方法。
其基本思想为:
- 任取待排序元素序列中的某元素作为基准值,按照该排序将待排序集合分割成两个子序列
- 左子序列中所有元素均小于基准值,右子序列中的所有元素均大于基准值
- 然后分别对左右两部分重复上述操作,直到将无序序列排列成有序序列。
二、动图演示(hoare版)
三、思路分析(图文)
以下以升序为例:
简言之,就是先进行单趟的排序,单趟排完之后,key已经放在它合适的位置上,分割出了一个左区间和右区间,然后进行递归排序,当左右区间都有序时,那么就整体有序。
四、代码实现(hoare版)
void swap(int* a, int* b)
{int tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}//hoare版
void QuickSort(int* a, int left, int right) //参数为数组下标
{//递归结束条件 if (left >= right){return;}int keyi = left;int begin = left;int end = right;//单趟排序while (begin < end){while (begin < end && a[end] >= a[keyi]){end--;}while (begin < end && a[begin] <= a[keyi]){begin++;}swap(&a[begin], &a[end]);}swap(&a[begin], &a[keyi]);keyi = begin; //将begin下标位置赋给keyi//分割出左右区间// [left, keyi-1] keyi [keyi+1, right]//整体排序 递归QuickSort(a, left, keyi - 1);QuickSort(a, keyi+1,right);}
五、易错提醒
我们看如下一段代码:
void QuickSort(int* a, int left, int right)
{if (left >= right){return;}int keyi = left;int begin = left;int end = right;while (begin < end){while (a[end] >= a[keyi]){end--;}while (a[begin] <= a[keyi]){begin++;}swap(&a[begin], &a[end]);}swap(&a[begin], &a[keyi]);keyi = begin;QuickSort(a, left, keyi - 1);QuickSort(a, keyi + 1, right);
}
上述代码是有问题存在的
通过调试可知,第二个while遇到相遇要停止,这里while少了相遇停止条件,否则可能会一直死循环下去
为何要创建begin和end?
通过上述思路分析易知,区间的每次分割,left都需要指向原始序列第一个元素的位置,right指向原始序列最后一个元素的位置,所以这里专门定义一个begin和end 而不是用left和right去++ --,就是为了便于分割区间。
六、相遇场景分析
6.1 ❥ 相遇位置一定比key要小的原因
我们发现,每次L与R相遇时与key进行交换时,L的值都小于key,这是为什么呢?
这里对他们相遇的场景进行分析:
相遇时无非两种场景,要么R遇见L,要么L遇见R
L遇R:
R先走,找小,停下来。
R停下条件是:遇见比key小的值,R停的位置一定比key小,L没有找到大的,遇见R停下
所以说:L遇R,它们相遇的位置就是R的位置
R遇L:
R先走,找小,没有找到比key小的,直接跟L相遇了。
L停留的位置是上一轮交换的位置
上一轮交换,把比key小的值,换到了L的位置
6.2 ❥ 右边为key,左边先走
我们发现,上面相遇场景都是左边做key,如果右边做key,让左边先走呢?
右边做key时:相遇位置一定比key要大
如下图所示:
结论:
- 左边做key,右边先走,可以保证相遇位置一定比key小
- 右边做key,左边先走,可以保证相遇位置一定比key大
6.3 ❥ 一边为key,另一边先走的原因
有人肯定会疑惑,为什么要一边做key,另一边先走,不可以做key的一边先走吗?
可以验证一下:
上图是让key在左边,且左边先走,在8相遇,然后与key==5进行交换
交换完后,5换到了数组下标为5的位置,并没有换到他所对应的正确位置,且左区间的8比5大。
我们知道,快排是当一趟排完之后,左区间都比key小,右区间都比key大,且key刚好在正确位置上,这样才可以继续分左右区间进行递归排序。
因此,不可以做key的一边先走
结论:一边做key,只能让另一边先走
七、时间复杂度分析
在比较理想的情况下,快排的递归结构接近完全二叉树,所以层数为logn层,每一层排序次数近似为n,(即单趟的时间复杂度为n)
故时间复杂度为:O(nlogn)
但是在有序场景下使用快排会性能会下降,时间复杂度为O(N^2)
如下图所示:
- 当key在左边时,右边R找小就会找不到,然后一直往左走,直到在key处相遇,
- 然后自己跟自己交换,结束一趟的排序。分割出左右区间。
- 此处没有左区间,只存在右区间
- 就这样依次类推......
- 那么总共执行的次数就会是一个等差数列
- 即:时间复杂度为O(N^2)
- 它的效率就会大幅度降低。
八、快排的优化
- 经过时间复杂度的分析,发现当前的快排算法还是存在一些缺陷的,那就是在有序场景下使用快排会性能会下降,此外,还有可能导致栈溢出。
- 为什么在有序场景下会发生栈溢出?
- 因为每走一层就是一个递归,这里递归的深度太深会有栈溢出的风险。
- 所以快排在此还是有较为明显的缺陷的,面对这些缺陷,我们在此应怎么解决呢?
- 我们知道,时间复杂度为O(nlogn)的前提是每次区间的划分都是二分,也就是每次选择交换的key,都是接近中间位置的值,哪怕不那么接近二分,但整体深度是logn就可以
- 所以key值的选取非常关键,如果固定的选择最左边(下标为0)的值,就有可能选到最小的值,然后出现效率退化栈溢出的风险
- 那如何选key才能避免有序的情况下效率退化呢?
- 下面提供了两种选取key值的方式
8.1 ❥ key值的选取
8.1.1 随机数选key
- 如果想要输出给定范围[a,b]内的随机数,需要使用rand()%(b-a+1)+a
- 缺陷:可能刚刚好选到最大或者最小值
代码如下:
void rand_key(int* a, int left, int right)
{int randi = left + (rand() % (right - left + 1));swap(&a[left], &a[randi]);
}
8.1.2 三数取中
所谓三数取中,就是从最左边,最右边,最中间三个位置,选择中间的值(不大不小的值)作为key(赋值给key)
代码如下:
int GetMidi(int* a, int left, int right)
{int midi = (left + right) / 2;if (a[left] > a[right]){if (a[left] < a[midi]) // r<l<m{return left;}else if(a[midi]<a[right]) //m<r<l{return right;}else //r<m<l{return midi;}}else{if (a[right]<a[midi]) //l<r<m{return right;}else if (a[midi]<a[left]) //m<l<r{return left;}else //l<m<r{return midi;}}
}
注意
这里是选出的中间值还应跟最左边的值进行交换,还应该让最左边的值作为key
8.2 ❥ 小区间优化
为何要有小区间优化:
当将一组待排序列进行快排,递归到只剩下5个值时,我们还要进行选key,分割左右区间等操作让5个值有序,此刻使用递归调用花费代价太大(最后一层递归调用就要占整体递归调用的50%),这就引入了小区间优化的方式。
小区间优化目的:
当待排区间长度小于等于某个阈值时,不再递归分割排序,减少递归调用的深度和对栈空间的使用,避免过度分割导致的效率下降,可以在处理小规模数据时获得更好的性能,从而提高整体排序算法的效率。
思路分析:
- 这里选择直接插入排序,首先希尔排序适合数据量较大时使用,这里不适合使用。
- 直接插入排序在同是O(N^2)的情况下,它的速度要更快
- 因为通常情况下,它是达不到O(N^2),只有在完全有序的情况下,才能达到O(N^2)
- 所以同级情况下,它要比其它排序更快一点,它的实践意义也在于此。
- 当然,引入小区间优化会使得效率低下,增加了算法的复杂度。
代码如下:
//直接插入算法
void InsertSort(int* a, int n)
{for (int i = 0; i < n - 1; i++){int end = i;int tmp = a[end + 1];while (end >= 0){if (tmp < a[end]) {a[end + 1] = a[end];end--;}else{break;}}a[end + 1] = tmp;}
}//交换算法
void swap(int* a, int* b)
{int tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}//三数取中
int GetMidi(int* a, int left, int right)
{int midi = (left + right) / 2;if (a[left] > a[right]){if (a[left] < a[midi]) {return left;}else if (a[midi] < a[right]) {return right;}else {return midi;}}else{if (a[right] < a[midi]) {return right;}else if (a[midi] < a[left]) {return left;}else {return midi;}}
}//hoare版
void QuickSort(int* a, int left, int right) //参数为数组下标
{if (left >= right){return;}// 小区间优化,不再递归分割排序,减少递归的次数if ((right - left + 1) < 10){InsertSort(a + left, right - left + 1);}else{//三数取中int midi = GetMidi(a, left, right);swap(&a[left], &a[midi]);int keyi = left;int begin = left;int end = right;while (begin < end){while (begin < end && a[end] >= a[keyi]){end--;}while (begin < end && a[begin] <= a[keyi]){begin++;}swap(&a[begin], &a[end]);}swap(&a[begin], &a[keyi]);keyi = begin;QuickSort(a, left, keyi - 1);QuickSort(a, keyi + 1, right);}
}
九、挖坑法
这里的挖坑法是以单趟排序的思路优化出的挖坑法。
该方法没有效率的提升(因为单趟排序效率无提升空间,至少都得遍历一遍)
但理解起来更简单,因为它们相遇的位置是坑,所以不用分析左边做key,右边先走的问题,也不用分析相遇位置比key小的原因
9.1 ❥ 动图演示
9.2 ❥ 思路详解
- 将序列的第一个元素作为基准值,存放在临时变量key中,此时的第一个坑位形成
- L指向第一个元素,R指向最后一个元素
- R开始向前移动,R--,找比key小的值,找到后,将R指向的值填入L的坑位,此时R形成一个坑位
- 然后L开始向后移动,L++,找比key大的值,找到后,将L指向的值填入R的坑位,此时L形成一个坑位
- R和L交错移动,形成新的坑位,直到R与L相遇
- 此时将key值填入L和R共同所指向的坑位
- 单趟排序完成
- 然后分割左右区间进行递归排序
- 最后排成一个有序序列
9.3 ❥ 代码实现
//挖坑法
void QuickSort1(int*a,int left,int right)
{//递归结束条件 if (left >= right){return;}int key = a[left];int begin = left;int end = right;//单趟排序while (begin < end){while (begin<end&&a[end] >= key){end--;}a[begin] = a[end]; //甩给右区间坑while (begin<end&&a[begin] <= key){begin++;}a[end] = a[begin]; //甩给左区间坑}a[begin] = key; //将key填入相遇的坑//进行递归排序QuickSort1(a, left, begin - 1);QuickSort1(a, begin + 1, right);}
十、前后指针法
前后指针法只是单趟逻辑改变,整体递归思路并没有改变。
该方法没有效率的提升。
10.1 ❥ 动图演示
10.2 ❥ 思路详解
- 将key指向序列的第一个元素,设为基准值
- prev指向key的位置,cur指向prev的下一个位置
- 对cur进行判断:
如果cur>=key,则cur++
如果cur<key,prev++,交换cur和prev所指向的值,然后cur++
- 再对cur进行判断,直到cur++到序列的最后一个元素的下一个位置,交换prev与key的值
- 此时单趟排序完成
- 然后分割左右区间进行递归排序
- 最后排成一个有序序列
10.3 ❥ 代码实现
void swap(int* a, int* b)
{int tmp = *a;*a = *b;*b = tmp;
}//前后指针法
void QuickSort2(int* a, int left, int right)
{if (left >= right){return;}//单趟排序int keyi = left;int prev = left;int cur = left + 1;while (cur<=right){if (a[cur] < a[keyi]) //cur的值比keyi的值小{prev++;if (prev != cur) //判断prev与cur是否指向同一位置{swap(&a[prev], &a[cur]);}}cur++;}swap(&a[prev], &a[keyi]);QuickSort2(a, left, prev - 1);QuickSort2(a, prev + 1, right);}