什么是动态规划

动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种用于解决最优化问题的算法设计方法。它通过将大问题分解成小问题，并存储已经解决的小问题的解，以避免重复计算，从而提高算法的效率。

动态规划通常适用于以下几类问题：

最优子结构：问题的最优解可以由其子问题的最优解构成。
重叠子问题：问题可以被分解成较小的子问题，并且这些子问题在计算中会多次出现。

动态规划的基本步骤包括：

定义子问题：识别子问题，以便能够递归地求解它们。
构建状态转移方程：找出子问题之间的关系。
初始化状态：为子问题提供初始条件。
计算并存储中间结果：通过自底向上或者自顶向下的方式求解问题，保存结果以便复用。
返回最终结果：根据存储的结果返回所需的解。

动态规划实例：0-1 背包问题

问题描述

给定 n 个物品，每个物品有一个重量和一个价值。你有一个最大承载重量为 W 的背包。目标是选择物品组合，使得在不超过最大承载重量的情况下，背包中物品的总价值最大。注意：每个物品只能用一次。

示例

假设我们有以下物品和其对应的重量和价值：

物品	重量	价值
1	1	1
2	3	4
3	4	5
4	5	7

最大承载重量 W = 7。

动态规划解法

定义状态：
- 令 dp[i][w] 表示前 i 个物品中，最大承载重量为 w 的情况下可以获得的最大价值。
初始化：
- 如果没有物品（i = 0），或者最大承载重量为 0（w = 0），则最大价值为 0。
- dp[0][w] = 0，dp[i][0] = 0。
状态转移方程：
- 如果当前物品的重量大于 w（即 weight[i-1] > w），则不能选择当前物品；此时 dp[i][w] = dp[i-1][w]。
- 如果当前物品的重量小于等于 w，选择当前物品或不选择：
  dp[i][w]=max⁡(dp[i−1][w],value[i−1]+dp[i−1][w−weight[i−1]])dp[i][w]=max(dp[i−1][w],value[i−1]+dp[i−1][w−weight[i−1]])
计算结果：
- 最终结果保存在 dp[n][W] 中，表示前 n 个物品，最大承载重量为 W 的最大价值。

实现代码

public class Knapsack {public static int knapsack(int[] weights, int[] values, int W) {int n = weights.length;int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];// 初始化 DP 表格for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int w = 0; w <= W; w++) {if (i == 0 || w == 0) {dp[i][w] = 0;  // 无物品或无承载重量} else if (weights[i - 1] <= w) {// 选择当前物品或不选择dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w], values[i - 1] + dp[i - 1][w - weights[i - 1]]);} else {dp[i][w] = dp[i - 1][w]; // 不选择当前物品}}}return dp[n][W];  // 返回最大价值}public static void main(String[] args) {int[] weights = {1, 3, 4, 5};int[] values = {1, 4, 5, 7};int W = 7;System.out.println("Maximum value in Knapsack = " + knapsack(weights, values, W));}
}