[CSP-J 2021] 插入排序

[CSP-J 2021] 插入排序

题目描述

插入排序是一种非常常见且简单的排序算法。小 Z 是一名大一的新生,今天 H 老师刚刚在上课的时候讲了插入排序算法。

假设比较两个元素的时间为 O ( 1 ) \mathcal O(1) O(1),则插入排序可以以 O ( n 2 ) \mathcal O(n^2) O(n2) 的时间复杂度完成长度为 n n n 的数组的排序。不妨假设这 n n n 个数字分别存储在 a 1 , a 2 , … , a n a_1, a_2, \ldots, a_n a1,a2,,an 之中,则如下伪代码给出了插入排序算法的一种最简单的实现方式:

这下面是 C/C++ 的示范代码:

for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = i; j >= 2; j--)if (a[j] < a[j-1]) {int t = a[j-1];a[j-1] = a[j];a[j] = t;}

这下面是 Pascal 的示范代码:

for i:=1 to n dofor j:=i downto 2 doif a[j]<a[j-1] thenbegint:=a[i];a[i]:=a[j];a[j]:=t;end;

为了帮助小 Z 更好的理解插入排序,小 Z 的老师 H 老师留下了这么一道家庭作业:

H 老师给了一个长度为 n n n 的数组 a a a,数组下标从 1 1 1 开始,并且数组中的所有元素均为非负整数。小 Z 需要支持在数组 a a a 上的 Q Q Q 次操作,操作共两种,参数分别如下:

1 x v 1~x~v 1 x v:这是第一种操作,会将 a a a 的第 x x x 个元素,也就是 a x a_x ax 的值,修改为 v v v。保证 1 ≤ x ≤ n 1 \le x \le n 1xn 1 ≤ v ≤ 1 0 9 1 \le v \le 10^9 1v109注意这种操作会改变数组的元素,修改得到的数组会被保留,也会影响后续的操作

2 x 2~x 2 x:这是第二种操作,假设 H 老师按照上面的伪代码 a a a 数组进行排序,你需要告诉 H 老师原来 a a a 的第 x x x 个元素,也就是 a x a_x ax,在排序后的新数组所处的位置。保证 1 ≤ x ≤ n 1 \le x \le n 1xn注意这种操作不会改变数组的元素,排序后的数组不会被保留,也不会影响后续的操作

H 老师不喜欢过多的修改,所以他保证类型 1 1 1 的操作次数不超过 5000 5000 5000

小 Z 没有学过计算机竞赛,因此小 Z 并不会做这道题。他找到了你来帮助他解决这个问题。

输入格式

第一行,包含两个正整数 n , Q n, Q n,Q,表示数组长度和操作次数。

第二行,包含 n n n 个空格分隔的非负整数,其中第 i i i 个非负整数表示 a i a_i ai

接下来 Q Q Q 行,每行 2 ∼ 3 2 \sim 3 23 个正整数,表示一次操作,操作格式见【题目描述】。

输出格式

对于每一次类型为 2 2 2 的询问,输出一行一个正整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3 4
3 2 1
2 3
1 3 2
2 2
2 3

样例输出 #1

1
1
2

提示

【样例解释 #1】

在修改操作之前,假设 H 老师进行了一次插入排序,则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3 , 2 , 1 3, 2, 1 3,2,1

在修改操作之后,假设 H 老师进行了一次插入排序,则原序列的三个元素在排序结束后所处的位置分别是 3 , 1 , 2 3, 1, 2 3,1,2

注意虽然此时 a 2 = a 3 a_2 = a_3 a2=a3,但是我们不能将其视为相同的元素

【样例 #2】

见附件中的 sort/sort2.insort/sort2.ans

该测试点数据范围同测试点 1 ∼ 2 1 \sim 2 12

【样例 #3】

见附件中的 sort/sort3.insort/sort3.ans

该测试点数据范围同测试点 3 ∼ 7 3 \sim 7 37

【样例 #4】

见附件中的 sort/sort4.insort/sort4.ans

该测试点数据范围同测试点 12 ∼ 14 12 \sim 14 1214

【数据范围】

对于所有测试数据,满足 1 ≤ n ≤ 8000 1 \le n \le 8000 1n8000 1 ≤ Q ≤ 2 × 10 5 1 \le Q \le 2 \times {10}^5 1Q2×105 1 ≤ x ≤ n 1 \le x \le n 1xn 1 ≤ v , a i ≤ 1 0 9 1 \le v,a_i \le 10^9 1v,ai109

对于所有测试数据,保证在所有 Q Q Q 次操作中,至多有 5000 5000 5000 次操作属于类型一。

各测试点的附加限制及分值如下表所示。

测试点 n ≤ n \le n Q ≤ Q \le Q特殊性质
1 ∼ 4 1 \sim 4 14 10 10 10 10 10 10
5 ∼ 9 5 \sim 9 59 300 300 300 300 300 300
10 ∼ 13 10 \sim 13 1013 1500 1500 1500 1500 1500 1500
14 ∼ 16 14 \sim 16 1416 8000 8000 8000 8000 8000 8000保证所有输入的 a i , v a_i,v ai,v 互不相同
17 ∼ 19 17 \sim 19 1719 8000 8000 8000 8000 8000 8000
20 ∼ 22 20 \sim 22 2022 8000 8000 8000 2 × 1 0 5 2 \times 10^5 2×105保证所有输入的 a i , v a_i,v ai,v 互不相同
23 ∼ 25 23 \sim 25 2325 8000 8000 8000 2 × 1 0 5 2 \times 10^5 2×105

解题思路

Part 1

利用题目中的条件:

H 老师不喜欢过多的修改,所以他保证类型 1 1 1 的操作次数不超过 5000 5000 5000

可以在修改时排序,用循环遍历数组查询单点.
修改复杂度: O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn),查询复杂度: O ( n ) O(n) O(n).
但是超时了TLE 76分记录

错误代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{long long id,x;
};
long long n,m;
node a[1000100];
bool cmp(node a,node b){//按题目中插入排序所给顺序排序if(a.x==b.x) return a.id<b.id;return a.x<b.x;
}
int main() {cin.tie(0);cout.tie(0);ios::sync_with_stdio(0);cin>>n>>m;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].x;a[i].id=i;}stable_sort(a+1,a+1+n,cmp);//先进行一次排序while(m--){long long op;cin>>op;if(op==1){//单点修改long long x,v;cin>>x>>v;for(long long i=1;i<=n;i++){if(a[i].id==x){a[i].x=v;}}stable_sort(a+1,a+1+n,cmp);}else{//单点查询long long x;cin>>x;for(int i=1;i<=n;i++){if(a[i].id==x){cout<<i<<endl;break;}}}}return 0;
}

Part 2

这次用一个数组b记录a数组中排序后元素的位置.查询复杂度降为 O ( 1 ) O(1) O(1).
因为修改时只改动一个元素的值,所以可以遍历一遍数组,用冒泡法找到合适的位置.修改复杂度降为 O ( n ) O(n) O(n).

AC记录

AC代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,q;
struct node{int id,val;
}a[8005];
int b[8005];
bool cmp(node x,node y){if(x.val==y.val) return  x.id<y.id;return x.val<y.val;
}
int main(){int k,x,v;cin>>n>>q;for(int i=1;i<=n;i++){cin>>a[i].val;a[i].id=i;}sort(a+1,a+n+1,cmp);for(int i=1;i<=n;i++){b[a[i].id]=i;}for(int i=1;i<=q;i++){cin>>k;if(k==1){cin>>x>>v;a[b[x]].val=v;node xy=a[b[x]];for(int i=b[x]+1;i<=n;i++){a[i-1]=a[i];}a[n]=xy;for(int i=n;i>1;i--){if(cmp(a[i-1],a[i])==0){swap(a[i-1],a[i]);}}for(int i=1;i<=n;i++){b[a[i].id]=i;}}else if(k==2){//查询cin>>x;cout<<b[x]<<endl;} }return 0;
}

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