[贪心+数学/数学+位运算] 两种方法O(1)解决消减整数

标题：[贪心+数学/数学+位运算] 两种方法O(1)解决消减整数

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一、题目：消减整数(Newcoder)

二、题目分析

1.理解题意：

2.解决问题

解法详解一：贪心+数学

解法一参考代码：

解法详解二：数学+位运算

解法二参考代码：

正文开始：

前言：

本文是我在刷题的时候偶然遇到的算法题，对此题我有自己想出来的做法，可以达到O(1)时间复杂度，与常用的解法相比方法比较巧妙，于是分享出来供参考学习，如果有错误，也欢迎不吝赐教。

一、题目：消减整数(Newcoder)

题号：NC219038
时间限制：C/C++ 1秒，其他语言2秒
空间限制：C/C++ 262144K，其他语言524288K
64bit IO Format: %lld

题目描述

        给出一个正整数H，从1开始减，第一次必须减1，每次减的数字都必须和上一次相同或者是上一次的两倍，请问最少需要几次能把H恰好减到0。

输入描述：

        第一行给出一个正整数T， T >= 1 并且 T <= 10^4

        接下来T行每行一个整数H, 满足 1≤H≤10^9

输出描述:
每行一个正整数代表最少的次数
示例1

输入
3（T）
接下来T行输入测试用例
3
5
7
输出
2
3
3

二、题目分析

1.理解题意：

为了方便，我们只举一个例子：3

3第一次-1；得到2

第二次有两种选择：继续-1 或者（减1的二倍）-2

如果选择-2，得到0，则最短路径就是2。

2.解决问题

在正式讲解可行的算法之前，先考虑暴力解法（因为可行解法往往是暴力解法的优化）：

对于一个数，每次要么-A，要么-2*A；（A是下一次需要减的数）

于是暴力解法就是对每一次减，都逝一逝（A和2*A）。这里我就不试了，为什么想必大家都知道。

复杂度：O（2^N）

解法详解一：贪心+数学

贪心：每次都减2*A，这样能减的更快，用的次数更少；但是不能保证正确性，比如下面的这个特例：

这就由于贪心而错失了正确答案。正确的处理方法是在每次贪心之前，需要进行一步判断。

我们暂且称上述的贪心为短视的“简单贪心”。假设一个数，经过“简单贪心”刚好可以减到0：

这就意味着这个数一定是2a的整数倍！！

那么就只需要在每次减之前，让这个数 % （2*A），如果等于0，这就意味着我们目前可以得正确的结果。意味着我们走在正确的二叉树分支上。意味着我们是在得到正确答案的基础上贪心！

解法一参考代码：

#include <iostream>
using namespace std;int t, h;int fun()
{int ret = 0, a = 1;while(h){h -= a;ret++;if(h % (a * 2) == 0){a *= 2;}}return ret;
}int main()
{cin >> t;while(t--){cin >> h;cout << fun() << endl;}return 0;
}

解法详解二：数学+位运算

这个解法是我自己想到的解法。起初我想到位运算，因为每次减的数都是2的N次方，

（1,2,4,8,16....），于是我写出了下面的代码，并暗自得意这道题，也就不过如此嘛：

int cut_int(int n)
{int ans = 0;for(int i = 0;i < 32;++i){if(((n >> i) & 1) == 1){ans++;}}return ans;
}
int main()
{int n;cin>>n;int tem;while(n--){cin>>tem;cout<<cut_int(tem)<<endl;}return 0;
}

但是提交后，我立刻发现了问题所在：2的倍数是一个次数一个次数加上去的，在合理的范围内，每一个2的次方数都至少要出现一次！

仅仅统计二进制1位的出现次数得出的是错误的答案！因为减的数字是从1开始的。不可能直接越过4而减去8/16/32.....

于是，我们可以先预先算出2出现的最高次数N，再一次减去（2的次方项 1,2,4,8,16....），这样不就保证不会出现上述的越级的行为！！

对于2的次方项，我们可以通过等比数列前n项求和公式计算：

然后让目标数字num-(Sn),得到的剩下的数，不就直接可以通过统计二进制位的方式来计算减的次数了嘛！！

总结：记目标数A，2出现的最高次项N

由于减去的数字从1开始，以次乘二，所以减去的数中一定是依次增大的（1,2,4,8.）2的次方项一定会每个都至少出现一次！

我们通过一次操作：让目标数-（2的次方项1,2,4...直到最高次项N，这个过程等比数列求和计算），同时操作次数+N；从此我们就得到了新的目标数B，B就可以通过计算二进制位上1的个数来得到最终的答案。

解法二参考代码：

#include <iostream>
#include<cmath>
using namespace std;int cut_int(int n)
{int ans = 0;int fn = 0;for(int i = 1; pow(2,i) - 1 <= n;++i){fn = i;}ans += fn;n -= (pow(2,fn)-1);for(int i = 0;i < 32;++i){if(((n >> i) & 1) == 1){ans++;}}return ans;
}
int main()
{int n;cin>>n;int tem;while(n--){cin>>tem;cout<<cut_int(tem)<<endl;}return 0;
}