零、前言

关于差分：

差分数组详解，一维二维差分-CSDN博客

关于LCA：

LCA算法-倍增算法_lca倍增算法-CSDN博客

LCA算法-Tarjan算法_lca数组-CSDN博客

树链剖分——重链剖分，原理剖析，代码详解-CSDN博客

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一、树上差分

1.1 问题引入

多次对树上的一些 点/边 做加法操作，然后询问 某个点或某条边 经过操作后的值。

1.2 点差分

例如，初态树上的各点点权为 0，现对路径(x, y)上的点均做 +1操作，等价于

d[x] += 1, d[y] += 1, d[lca] -= 1, d[fa(lca)] -= 1

进行深搜递归，自底向上计算节点差分值的子树和(还原)，恰好使得路径(x, y)上的点权均为 1，同时消除了对 lca 之上的节点的影响。

1.3 边差分

例如，初态树上的各边边权为 0，现对路径(x, y)上的边均做 +1操作。对边权的操作比较困难，通常把边权下移给节点，变成点权操作。等价于

d[x] += 1, d[y] += 1, d[lca] -= 2

进行深搜递归，自底向上计算节点差分值的子树和(还原)恰好使得路径(x, y)上的边权均为 1，同时消除了对 lca 之上的边的影响,

1.4 利用dfs序差分恢复

2.3 中利用 dfs 差分恢复被卡常了，事实上我们可以用 dfs序来进行差分恢复

假如我们得到了dfs序 递增的节点序列：seq[]，seq[i] 的 dfn = i

那么可以如此恢复：

for (int i = n - 1; ~i; -- i)if (seq[i])	// 节点从0开始diff[fa[seq[i]]] += diff[seq[i]];

二、OJ练习

2.1 暗之连锁

原题链接

U143800 暗之连锁 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路分析

板子题，直接写就行

AC代码

#include <bits/stdc++.h>// #define DEBUGusing u32 = unsigned;
using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;constexpr int inf32 = 1E9 + 7;
constexpr i64 inf64 = 1E18 + 7;constexpr int B = 20;void solve() {int n, k;std::cin >> n >> k;std::vector<std::vector<int>> adj(n);for (int i = 1, u, v; i < n; ++ i) {std::cin >> u >> v;-- u, -- v;adj[u].push_back(v);adj[v].push_back(u);}std::vector<std::array<int, B>> f(n, std::array<int, B>{});std::vector<int> d(n), w(n);auto dfs = [&](auto &&self, int u, int p) -> void{if (u) {f[u][0] = p;for (int i = 1; i < B; ++ i) {assert(0 <= f[u][i - 1] && f[u][i - 1] < n);f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];}}for (int v : adj[u]) {if (v == p) continue;d[v] = d[u] + 1;self(self, v, u);}};dfs(dfs, 0, -1);auto LCA = [&](int u, int v) -> int {if (d[u] < d[v]) std::swap(u, v);for (int i = B - 1; ~i; -- i)if (d[f[u][i]] >= d[v])u = f[u][i];if (u == v)return u;for (int i = B - 1; ~i; -- i)if (f[u][i] != f[v][i]) {u = f[u][i];v = f[v][i];}return f[u][0];}; for (int i = 0, s, t; i < k; ++ i) {std::cin >> s >> t;-- s, -- t;++ w[s], ++ w[t];int lca = LCA(s, t);-- w[lca];if (lca)-- w[f[lca][0]];}auto dfs1 = [&](auto &&self, int u, int p) -> void{for (int v : adj[u])if (v != p) {self(self, v, u);w[u] += w[v];}};dfs1(dfs1, 0, -1);std::cout << *max_element(w.begin(), w.end()) << '\n';
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);#ifdef DEBUGint cur = clock();freopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifint t = 1;// std::cin >> t;while (t--) {solve();}
#ifdef DEBUGstd::cerr << "run-time: " << clock() - cur << '\n';
#endifreturn 0;
}

2.2 松鼠的新家

原题链接

[P3258 JLOI2014] 松鼠的新家 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路分析

考虑 先将 树上差分 将<a[i], a[i + 1]> 的所有路径都 + 1

dfs1 求完子树和后，我们发现 a[1, n] 都会重复+1，我们将其再-1即可

AC代码

#include <bits/stdc++.h>// #define DEBUGusing u32 = unsigned;
using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;constexpr int inf32 = 1E9 + 7;
constexpr i64 inf64 = 1E18 + 7;constexpr int B = 20;void solve() {int n;std::cin >> n;std::vector<int> a(n);for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cin >> a[i];-- a[i];}std::vector<std::vector<int>> adj(n);for (int i = 1, u, v; i < n; ++ i) {std::cin >> u >> v;-- u, -- v;adj[u].push_back(v);adj[v].push_back(u);}std::vector<int> d(n);std::vector<std::array<int, B>> f(n, std::array<int, B>{});auto dfs = [&](auto &&self, int u, int p) -> void {if (u) {f[u][0] = p;for (int i = 1; i < B; ++ i) {f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];}}for (int v : adj[u]) {if (v == p) continue;d[v] = d[u] + 1;self(self, v, u);}};dfs(dfs, 0, -1);auto LCA = [&](int u, int v) -> int {if (d[u] < d[v]) std::swap(u, v);for (int i = B - 1; ~i; -- i)if (d[f[u][i]] >= d[v])u = f[u][i];if (u == v)return u;for (int i = B - 1; ~i; -- i)if (f[u][i] != f[v][i]) {u = f[u][i];v = f[v][i];}return f[u][0];}; std::vector<int> w(n);for (int i = 0; i + 1 < n; ++ i) {++ w[a[i]], ++ w[a[i + 1]];int lca = LCA(a[i], a[i + 1]);-- w[lca];if (lca)-- w[f[lca][0]];}auto dfs1 = [&](auto &&self, int u, int p) -> void{for (int v : adj[u])if (v != p) {self(self, v, u);w[u] += w[v];}};dfs1(dfs1, 0, -1);for (int i = 1; i < n; ++ i)-- w[a[i]];for (int i = 0; i < n; ++ i) {std::cout << w[i] << '\n';}
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);#ifdef DEBUGint cur = clock();freopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifint t = 1;// std::cin >> t;while (t--) {solve();}
#ifdef DEBUGstd::cerr << "run-time: " << clock() - cur << '\n';
#endifreturn 0;
}

2.3 运输计划

原题链接

[P2680 NOIP2015 提高组] 运输计划 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

思路分析

树上差分 + 二分

考虑所有计划并发同时执行，那么如果 t 时刻可行，T > t 时刻仍然可行

具有单调性，选择二分

给定 答案x，如何check？

如果时间大于 x 的计划数目为 cnt，这cnt个计划最大时间为ma，存在合法虫洞 <=> <u, v, w> 被 这cnt 个计划覆盖并且 ma - w <= x

如何获得被cnt个计划都覆盖的边？——树上差分

注意：本题卡常，如果像我一样不喜欢开全局变量，喜欢使用STL的话，注意二分上下界以及用 dfs 序倒着累加 diff 来替代dfs

AC代码

#include <bits/stdc++.h>// #define DEBUGusing u32 = unsigned;
using i64 = long long;
using u64 = unsigned long long;constexpr int inf32 = 1E9 + 7;
constexpr i64 inf64 = 1E18 + 7;constexpr int B = 20;struct Edge{int v, w;
};void solve() {int n, m;std::cin >> n >> m;std::vector<std::vector<int>> g(n);std::vector<Edge> e;auto addEdge = [&](int u, int v, int w) {g[u].push_back(e.size());e.emplace_back(v, w);g[v].push_back(e.size());e.emplace_back(u, w);};for (int i = 1, u, v, w; i < n; ++ i) {std::cin >> u >> v >> w;-- u, -- v;addEdge(u, v, w);}std::vector<int> d(n), acc(n), o(n), seq(n);std::vector<std::array<int, B>> f(n, std::array<int, B>{});int dfn = 0;auto dfs = [&](auto &&self, int u, int p) -> void {seq[dfn ++] = u;if (u) {f[u][0] = p;for (int i = 1; i < B; ++ i) {f[u][i] = f[f[u][i - 1]][i - 1];}}for (int i : g[u]) {auto [v, w] = e[i];if (v == p) continue;d[v] = d[u] + 1;acc[v] = acc[u] + w;o[v] = w;self(self, v, u);}};dfs(dfs, 0, -1);auto LCA = [&](int u, int v) -> int {if (d[u] < d[v]) std::swap(u, v);for (int i = B - 1; ~i; -- i)if (d[f[u][i]] >= d[v])u = f[u][i];if (u == v)return u;for (int i = B - 1; ~i; -- i)if (f[u][i] != f[v][i]) {u = f[u][i];v = f[v][i];}return f[u][0];}; std::vector<int> diff(n);std::vector<std::tuple<int, int, int, int>> path;for (int i = 0, u, v; i < m; ++ i) {std::cin >> u >> v;-- u, -- v;int lca = LCA(u, v);diff[lca] -= 2;path.emplace_back(u, v, acc[u] + acc[v] - acc[lca] * 2, lca);}auto check = [&](int x) -> bool{diff.assign(n, 0);int cnt = 0, ma = 0;for (auto &[u, v, len, lca]: path)if (len > x) {++ cnt;ma = std::max(ma, len);++ diff[u], ++ diff[v];diff[lca] -= 2;}for (int i = n - 1; ~i; -- i)if (seq[i])diff[f[seq[i]][0]] += diff[seq[i]];for (int i = 0; i < n; ++ i) {if (diff[i] == cnt && ma - o[i] <= x) {return true;}}return false;};int lo = *std::max_element(o.begin(), o.end()), hi = 0;for (auto &[u, v, len, lca] : path)hi = std::max(hi, len + 1);lo = hi - lo - 1;while (lo < hi) {int x = (lo + hi) / 2;if (check(x)) hi = x;else lo = x + 1;}std::cout << lo << '\n';
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(nullptr);#ifdef DEBUGint cur = clock();freopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifint t = 1;// std::cin >> t;while (t--) {solve();}
#ifdef DEBUGstd::cerr << "run-time: " << clock() - cur << '\n';
#endifreturn 0;
}