问题

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TLE代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int b[N];
void add(int l, int r, int d)
{b[r+1] -= d;b[l] += d;
}
int query(int x)
{int retval = 0;for(int i = 1; i <= x; i++){retval += b[i];}return retval;
}
int main()
{int n, m;scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; i++){int tmp;scanf("%d", &tmp);add(i, i, tmp);}for(int i = 1; i <= m; i++){char op;scanf(" %c", &op);if(op == 'C'){int l, r, d;scanf("%d%d%d", &l, &r, &d);add(l, r, d);}else if(op == 'Q'){int x;scanf("%d", &x);printf("%d\n", query(x));}}return 0;
}

假设n=1e5, m=1e5, 操作全是Q,则操作次数达到
$$10^{10}$$

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正确代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
int b[N];
int n, m;
int lowbit(int x)
{return x & (-x);
}
void update(int x, int d)
{for(; x <= n; x += lowbit(x)){b[x] += d;}
}
int query(int x)
{int retval = 0;for(; x >= 1; x -= lowbit(x)){retval += b[x];}return retval;
}
int add(int l, int r, int d)
{update(l, d);update(r+1, -d);
}
int main()
{scanf("%d%d", &n, &m);for(int i = 1; i <= n; i++){int tmp;scanf("%d", &tmp);add(i, i, tmp);}for(int i = 1; i <= m; i++){char op;scanf(" %c", &op);if(op == 'C'){int l, r, d;scanf("%d%d%d", &l, &r, &d);add(l, r, d);}else if(op == 'Q'){int x;scanf("%d", &x);printf("%d\n", query(x));}}return 0;
}

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思考

对比前缀和、差分和树状数组

算法	目的	单次操作复杂度
前缀和	快速求子段和	区间求和 $O(1)$ \; 区间修改$O(n)$
差分	快速子段修改	区间修改$O(1)$ \; 单点查询 $O(n)$
树状数组	均衡上述目的，同时是动态版前缀和	单点修改$O(logn)$ \; 区间求和$O(logn)$
差分+树状数组	均衡差分	\; 单点查询 $O(logn)$

区间修改指的是区间加减 能够区间求和就自然可以单点查询
差分+树状数组的思路：树状数组维护差分序列，通过树状数组的单点修改操作进行差分的区间修改，通过树状数组的区间求和优化差分的单点查询

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总结树状数组

求区间和要想到 (1)
单点修改要想到 (3)