c++中的最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）（算法章完结）

前言

hello大家好啊，我是文宇。

今天是最后一篇算法（暂时性的，以后可能还有）

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence）

最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是一个常见的算法问题，在计算机科学中具有重要的应用。LIS问题可以描述为：给定一个序列，找出其中最长的递增子序列。

在C++中，可以使用多种方法来解决LIS问题。下面将详细介绍两种常见的解法。

动态规划（Dynamic Programming）解法：

动态规划是一种常见的求解最优化问题的方法，该方法通常包含以下三个要素：最优子结构、重叠子问题和状态转移方程。

对于LIS问题，可以定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。初始时，将dp数组的所有元素初始化为1，表示每个单独的元素本身就是一个递增子序列。

然后，从第一个元素开始遍历，依次计算以当前元素结尾的最长递增子序列的长度。对于第i个元素，需要遍历该元素之前的所有元素j（0 <= j < i），如果当前元素大于前面的元素并且以第j个元素结尾的最长递增子序列的长度加1大于以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度，则更新dp[i]。

最后，遍历dp数组，找出其中的最大值，即为最长递增子序列的长度。

下面是C++代码实现：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if (n == 0) return 0;vector<int> dp(n, 1);int maxLen = 1;for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {if (nums[i] > nums[j] && dp[j] + 1 > dp[i]) {dp[i] = dp[j] + 1;}}maxLen = max(maxLen, dp[i]);}return maxLen;
}

二分查找（Binary Search）解法：

二分查找是一种常见的查找算法，它可以用来解决LIS问题。该方法的思路是维护一个递增的序列，遍历原始序列中的每个元素，将其插入到递增序列中的合适位置。

具体实现如下：

首先，定义一个数组tail，用于存储递增序列的元素。初始化时，将tail数组的第一个元素设置为原始序列的第一个元素。

然后，从原始序列的第二个元素开始遍历，对于每个元素，使用二分查找找到它在递增序列中的插入位置。如果找到了合适的位置，将该元素插入到对应的位置；否则，将它替换掉递增序列中比它大的第一个元素。

最后，返回递增序列的长度即可。

下面是C++代码实现：

int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {int n = nums.size();if (n == 0) return 0;vector<int> tail;tail.push_back(nums[0]);for (int i = 1; i < n; i++) {if (nums[i] > tail.back()) {tail.push_back(nums[i]);} else {int left = 0, right = tail.size() - 1;while (left < right) {int mid = left + (right - left) / 2;if (tail[mid] >= nums[i]) {right = mid;} else {left = mid + 1;}}tail[left] = nums[i];}}return tail.size();
}

这两种方法都能够有效地解决LIS问题，它们的时间复杂度都为O(n^2)，其中n为原始序列的长度。但是二分查找解法的时间复杂度可以通过使用辅助数组进行优化，将其降低到O(nlogn)。

以上是关于C++中最长递增子序列问题的详细解释和实现，希望能对你有所帮助。