不定方程

基础

• 一元不定方程
  $$\begin{gathered} 1.a_{1}x+a_0=0 \\ x=-\frac{a_0}{a_1}，但是不能保证有整数解 \\ 2.a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+...+a_{1}x+a_0=0,n\ge 2 \\ x=a，则 \\ {a}_n{a}^n+...+a_{1}a+a_0=0=>a_0=-a(a_n{a}^{n-1}+....+a_1),a|a_0 \\ {a}_0的因数是整数解。 \\ {x}^7+x^3-x^2+8=0=>a_0=8 \end{gathered}$$
  1）2,4,1,8,-2,-4,-1,-8为因数
  2)1,-1不是整数解
  3)2，-2不是整数解
  4)4，-4不是整数解
  5)8，-8不是整数解

julia> 2^7+2^3-2^2+8
140
julia> (-2)^7+(-2)^3+2^2+8
-124
julia> (-4)^7+(-4)^3-(-4)^2+8
-16456julia> (4)^7+(4)^3-(4)^2+8
16440julia> (8)^7+(8)^3-(8)^2+8
2097608julia> (-8)^7+(-8)^3-(-8)^2+8
-2097720

该方程没有整数解
下一个例子
$x^3-x^2-4=0$
$1,-1,2,-2,4,-4是因数$
$1,-1,2,-4,4不是整数解,2是整数解$

julia> 2^3-2^2-4
0julia> (-2)^3-(-2)^2-4
-16julia> (-4)^3-(-4)^2-4
-84julia> (4)^3-(4)^2-4
44

理论

下面内容来自文心一言的自动生成

不定方程

• 不定方程是数学中的一个概念，指的是未知数的个数多于方程个数，且没有限制解必须为整数或正数的方程。这类方程通常有无数个解，或者解集可以表示为参数的形式。解决不定方程的方法多种多样，取决于方程的具体形式和所求的解的类型（如整数解、有理数解等）。

• 不定方程（Indefinite Equation）是数学中的一个概念，它指的是未知数的个数多于方程个数，并且没有对未知数的取值范围或解的个数做出明确限制（如必须为整数解）的方程。这类方程通常有无数个解，或者解集可以表示为参数的形式，即解可以用其他参数来表示，这些参数可以在一定的范围内自由取值。

不定方程与线性方程组中的“不定解”或“自由变量”的概念有所相似，但不定方程更侧重于未知数的个数超过方程个数，并且不特别限制解的形式（如整数解、有理数解等）。

虽然不定方程有无数个解，但在实际应用中，我们可能只关心满足特定条件（如整数解、正数解等）的解。因此，在解决不定方程时，我们通常会根据具体问题的要求来寻找符合条件的解。

另外，有些不定方程可能没有解，或者只有有限个解。这取决于方程的具体形式和未知数的取值范围。因此，在解决不定方程时，我们还需要对解的存在性和唯一性进行判断。

下面我将通过几个例子来展示如何解决不同类型的不定方程：

例子 1: 线性不定方程

问题：解方程 $2x+3y=12$。

解答：
这个方程有两个未知数 $x$ 和 $y$，但只有一个方程，因此有无数组解。我们可以将方程改写为 $y=\frac{12-2x}{3}$，然后选取 $x$ 的任意整数值来求解 $y$。

例如，当 $x=0$ 时，$y=\frac{12}{3}=4$；
当 $x=3$ 时，$y=\frac{12-6}{3}=2$；
以此类推，得到无数组解 $(x,y)$。

例子 2: 整数解的不定方程

问题：求方程 $3x+5y=23$ 的所有整数解。

解答：
首先，我们可以使用扩展欧几里得算法来判断方程是否有整数解。但在这个例子中，我们可以直接通过尝试和观察来找到解。

注意到 $3x$ 必须是奇数（因为 $5y$ 总是奇数），所以 $x$ 也必须是奇数。我们可以从 $x=1$ 开始尝试，然后逐步增加 $x$ 的值，同时调整 $y$ 的值以保持方程成立。

例如，当 $x=1$ 时，$y=\frac{23-3}{5}=4$；
当 $x=6$ 时，$y=\frac{23-18}{5}=1$；
继续尝试，我们会发现 $x$ 只能取 $1,6,11,16,\dots$（即 $x\equiv 1(\mathrm{mod}5)$）时，$y$ 才是整数。

例子 3: 含有多个未知数的不定方程

问题：解方程 $x+y+z=10$。

解答：
这个方程有三个未知数但只有一个方程，因此有无数组解。我们可以将其中一个未知数表示为其他未知数的函数。

例如，将 $z$ 表示为 $z=10-x-y$。然后，我们可以选取 $x$ 和 $y$ 的任意整数值来求解 $z$。

例如，当 $x=1,y=2$ 时，$z=10-1-2=7$；
当 $x=3,y=4$ 时，$z=10-3-4=3$；
以此类推，得到无数组解 $(x,y,z)$。

总结

解决不定方程的关键在于理解方程的结构和未知数的性质，并通过尝试、观察或利用数学工具（如扩展欧几里得算法）来找到解。对于整数解的不定方程，通常需要更多的技巧和耐心来找到所有可能的解。

参考文献

1.文心一言
2.《初等数论》陈景润