强化学习的数学原理是由西湖大学赵世钰老师带来的关于RL理论方面的详细课程，本课程深入浅出地介绍了RL的基础原理，前置技能只需要基础的编程能力、概率论以及一部分的高等数学，你听完之后会在大脑里面清晰的勾勒出RL公式推导链条中的每一个部分。赵老师明确知道RL创新研究的理论门槛在哪，也知道视频前的你我距离这个门槛还有多远。

本笔记将会用于记录我学习中的理解，会结合赵老师的视频截图，以及PDF文档Book-Mathematical-Foundation-of-Reinforcement-Learning进行笔记注释，之后也会补充课程相关的代码样例，帮助大家理解

笔记合集链接（排版更好哦🧐）：《RL的数学原理》

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Action

Agent在每个状态能够采取的行动

ActionSpace是依赖于State的，即不同状态会对应不同的ActionSpace

State transition

当采取一个action，Agent从一个State，转移到另一个State的过程

我们设计允许Agent踏入禁止区域，再惩罚扣分，而不是禁止进入，一是避免状态空间被缩小，而是适当的尝试扣分项，可能能创造更高的奖励。

状态转移矩阵

State transition可以用一个状态转移矩阵表示，这样表示相当直观，但是只能表示确认性的情况，因此现实中使用较为受限

状态转移可能性

用条件概率来表达这种有随机性的例子，让状态转移的概率形式更加一般化

Policy

Agent被告知在一个状态会采取的动作，给予这个Policy，能够创建一条路径

我们仍然使用条件概率来表示策略，使用符号π来表示任何一个state下，一个action的条件概率是多少

Reward

Agent在采取了一个动作后获得的一个实数标量

• 正数即鼓励行为的发生
• 负数即不被希望发生的行为
• 0一般没有意义，但是相对来说算是奖励

Reward是我们和机器交互的一种方式，去引导Agent实现合适的策略

小贴示

1. 当reward的产生存在概率时，则表格不再适用
2. 只要你努力学习你就应该得到奖励，但具体数值并不会确定，同样的，Agent的奖励应该基于当前状态和奖励，而不是下一个状态

Trajectory and return

A state-action-reward chain

Return

对Trajectory的奖励进行求和

通过return，可以直观描述以及评估一个policy的好坏

Discounted return

引入discount rate，避免return的发散，实现无穷级数的收敛

在return前添加折扣discount rate -> γ

• If γ is close to 0：让Agent的决策更趋向于即时奖励
• If γ is close to 1：让Agent的决策更趋向于长期奖励

Episode

episode可以理解为有terminal states（终止点）的trajectory，因此通常是有限步的，这样的任务被称为episodic tasks。

与之相对的是continuing tasks，与环境的交互不会终止

episodic tasks与continuing tasks的相互转化

1. 将target状态设为absorbing state（可以理解为黑洞状态），一旦到达就无法离开
2. 保持target为正常节点，使用奖励策略来阻止agent离开，允许agent跳出

我们采用第二种，虽然需要更多时间探索，但是最终的效果也将更加一般化

Markov decision process(MDP)[马尔科夫决策过程框架]

Key elements of MDP：

• Sets：

• • State：the set of states S
  • Action：the set of actions A(s) is associated for state s ∈ S.
  • Reward：the set of rewards R(s,a).

• Probability distribution：

• • State transition probability: at state s, taking action a, the probability to transit to state s’ is p(s’|s,a)
  • Reward probability: at state s, taking action a,the probability to get reward r is p(r|s,a)

• Policy: at state s, the probability to choose action a is π(a|s)
• Markov property:memoryless property

p(st+1|at+1,st,…,a1,s0)=p(st+1|at+1,st),

p(rt+1|at+1,st,…,a1,s0)=p(rt+1|at+1,st).

All the concepts introduced in this lecture can be put in the framework in MDP.

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之前的GWE可以被抽象为一个马尔科夫过程（Markov porcess）

Markov decision process becomes Markov process once the policy is given!

马尔科夫决策过程当有了一个明确的决策方式，就变成了马尔科夫过程

小结

By using grid-world examples, we demonstrated the following key concepts:

• State
• Action
• State transition, state transition probability p(s’|s,a)
• Reward, reward probability p(r|s,a)
• Trajectory, episode, return, discounted return
• Markov decision process