一个半径为 $R$、转动惯量为 $I$ 的圆盘。绳子与圆盘无滑动，质量 $m_2$ 的物体在重力 $g$ 作用下下坠，带动质量 $m_1$ 的物体上升。求$m_1$和$m_2$ 的加速度 $a$。

牛顿力学方法

1. 对质量 $m_1$ 和 $m_2$ 应用牛顿第二定律：

   对于质量$m_1$ ：
   $$T_1-m_{1}g=m_{1}a$$

   对于质量$m_2$：
   $$m_{2}g-T_2=m_{2}a$$

2. 对圆盘应用转动动力学方程（两边不同张力$T$下产生转动）：

   $$T_{2}R-T_{1}R=I\frac{a}{R}$$

3. 解方程组：

   $$a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+\frac{I}{R^2}}$$

拉格朗日力学方法

1. 构建拉格朗日量：

   $$L=T-V=\frac{1}{2}\left(m_1+m_2+\frac{I}{R^2}\right){\dot{y}}_1^2+(m_2-m_1)g{y}_1$$

2. 应用拉格朗日方程：

   $$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{y}}_1}\right)-\frac{\partial L}{\partial y_1}=0$$

3. 解方程：

   $$a=\frac{(m_2-m_1)g}{m_1+m_2+\frac{I}{R^2}}$$

参考：
牛顿力学与拉格朗日力学-万门大学公开课