二分枚举

适用条件：

• 答案有明显上下界
• 答案具有单调性:a满足,若b>=a可以知b必定满足。
• 本质上是枚举的对数优化

思维技巧

• 解决问题->>验证答案,明显前者比后者更加困难
• 若题目有最大值最小，最小值最大这种经典条件，隐含着答案有界

模板

• 左边界和右边界的界定
• 判定函数
• 二分模板

bool isValid(){//验证答案
}
int l==a,r=b;
while(l<=r){int mid=(l+r)/2if(isValid(mid)){ans=mid;l=mid+1;}else{r=mid-1;}
}

---

以下均为题解

小鸟的设备

题目背景

小鸟有 $n$ 个可同时使用的设备。

题目描述

第 $i$ 个设备每秒消耗 $a_i$ 个单位能量。能量的使用是连续的，也就是说能量不是某时刻突然消耗的，而是匀速消耗。也就是说，对于任意实数，在 $k$ 秒内消耗的能量均为 $k\times a_i$ 单位。在开始的时候第 $i$ 个设备里存储着 $b_i$ 个单位能量。

同时小鸟又有一个可以给任意一个设备充电的充电宝，每秒可以给接通的设备充能 $p$ 个单位，充能也是连续的，不再赘述。你可以在任意时间给任意一个设备充能，从一个设备切换到另一个设备的时间忽略不计。

小鸟想把这些设备一起使用，直到其中有设备能量降为 $0$。所以小鸟想知道，在充电器的作用下，她最多能将这些设备一起使用多久。

输入格式

第一行给出两个整数 $n,p$。

接下来 $n$ 行，每行表示一个设备，给出两个整数，分别是这个设备的 $a_i$ 和 $b_i$。

输出格式

如果小鸟可以无限使用这些设备，输出 $-1$。

否则输出小鸟在其中一个设备能量降为 $0$ 之前最多能使用多久。

设你的答案为 $a$，标准答案为 $b$，只有当 $a,b$ 满足
$\frac{|a-b|}{\max (1,b)}\le 10^{-4}$ 的时候，你能得到本测试点的满分。

解题思路

• 注意题目描述：能量的使用是连续的，意味着可以从整体来看问题，如果充电量大于总耗电量，则一定可以无限使用，反之则不能。
• 直接表达问题非常困难，但是从枚举的角度验证答案其实不难
• 注意精度

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n;
double p,ans=0;
vector<double>e(100009, 0); //当前电力
vector<double>ct(100009, 0);//消耗bool isValid(double s,vector<double>e) {for (int i = 1; i <= n; i++) {e[i] -= ct[i] * s;}double sum = p * s;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (e[i] < 0) {sum += e[i];}if (sum < 0) {return false;}}return true;
}
void solve() {cin >> n >> p;double sume = 0;//总电力double cost = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> ct[i] >> e[i];sume += e[i];cost += ct[i];}if (cost <= p) {cout << -1;return;}double time = sume / (cost - p);//最大时间//cout << "sume==" << sume << " cost==" << cost <<" time==" <<time<< endl;double l = 0, r = time;while (l <= r) {double mid = (l+r)/2;if (isValid(mid, e)) {ans = mid;l = mid + 1e-5;}else {r = mid - 1e-5;}}printf("%f", ans);}
int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

[COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

题目描述

伐木工人 Mirko 需要砍 $M$ 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 $H$（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 $H$，并锯掉所有树比 $H$ 高的部分（当然，树木不高于 $H$ 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 $20,15,10$ 和 $17$，Mirko 把锯片升到 $15$ 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 $15,15,10$ 和 $15$，而 Mirko 将从第 $1$ 棵树得到 $5$ 米，从第 $4$ 棵树得到 $2$ 米，共得到 $7$ 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 $H$，使得他能得到的木材至少为 $M$ 米。换句话说，如果再升高 $1$ 米，他将得不到 $M$ 米木材。

输入格式

第 $1$ 行 $2$ 个整数 $N$ 和 $M$，$N$ 表示树木的数量，$M$ 表示需要的木材总长度。

第 $2$ 行 $N$ 个整数表示每棵树的高度。

输出格式

$1$ 个整数，表示锯片的最高高度。

解题思路

• 正常的二分
• 枚举+最大

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n,ans=0;
ll m; vector<int>v(1000009, 0);
bool isValid(int mid) {ll sum = 0;for (int i = 1; i <= n;i++) {if (mid > v[i]) {continue;}sum += (ll)(v[i] - mid);}if (sum >= m)return true;return false;
}
void solve() {cin >> n >> m;int maxlen = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i];maxlen = max(v[i], maxlen);}int l = 0, r = maxlen;while (l <= r) {int mid = (l + r) / 2;/*cout << mid << endl;*/if (isValid(mid)) {ans = mid;l=mid+1;}else {r= mid - 1;}}cout << ans;
}int main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

数列分段 Section II

题目描述

对于给定的一个长度为 $N$ 的正整数数列 $A_{1\sim N}$，现要将其分成 $M$（$M\le N$）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。

关于最大值最小：

例如一数列 $42451$ 要分成 $3$ 段。

将其如下分段：

$$[42][45][1]$$

第一段和为 $6$，第 $2$ 段和为 $9$，第 $3$ 段和为 $1$，和最大值为 $9$。

将其如下分段：

$$[4][24][51]$$

第一段和为 $4$，第 $2$ 段和为 $6$，第 $3$ 段和为 $6$，和最大值为 $6$。

并且无论如何分段，最大值不会小于 $6$。

所以可以得到要将数列 $42451$ 要分成 $3$ 段，每段和的最大值最小为 $6$。

输入格式

第 $1$ 行包含两个正整数 $N,M$。

第 $2$ 行包含 $N$ 个空格隔开的非负整数 $A_i$，含义如题目所述。

输出格式

一个正整数，即每段和最大值最小为多少。

解题思路

• 判定函数：我感觉我的判定函数没起到作用，因为当区间长度为1时，如果和sum>枚举值时，这个枚举值一定是无效的。
  但是如果不加入l=maxv对二分左边界作限制，又过不了…
• 应该对二分边界作详细界定，不能忽略的左边界！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int n, m,ans=0;
vector<int>v(100009, 0);
bool isValid(ll t,int m) {//t目标值，m是段数ll sum = 0;int i = 1;for (int j = 1; j <= n; j++) {sum += (ll)v[j];if (sum > t) {if (i < j) {sum = (ll)v[j];i = j;m--;}else {return false;}}}if (m < 1) {return false;}return true;
}
void solve() {cin >> n >> m;ll maxv = 0,sum=0;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> v[i];maxv = max(maxv, (ll)v[i]);sum += (ll)v[i];}/*cout << "maxv==" << maxv <<" sum=="<<sum<< endl;*/ll l = maxv, r = sum,mid=0;while (l <= r) {mid = (l + r) / 2;if (isValid(mid, m)) {ans = mid;r = mid - 1;}else {l = mid + 1;}}cout << ans;
}
signed main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}

烦恼的高考志愿

题目背景

计算机竞赛小组的神牛 V 神终于结束了高考，然而作为班长的他还不能闲下来，班主任老 t 给了他一个艰巨的任务：帮同学找出最合理的大学填报方案。可是 v 神太忙了，身后还有一群小姑娘等着和他约会，于是他想到了同为计算机竞赛小组的你，请你帮他完成这个艰巨的任务。

题目描述

现有 $m$ 所学校，每所学校预计分数线是 $a_i$。有 $n$ 位学生，估分分别为 $b_i$。

根据 $n$ 位学生的估分情况，分别给每位学生推荐一所学校，要求学校的预计分数线和学生的估分相差最小（可高可低，毕竟是估分嘛），这个最小值为不满意度。求所有学生不满意度和的最小值。

输入格式

第一行读入两个整数 $m,n$。$m$ 表示学校数，$n$ 表示学生数。

第二行共有 $m$ 个数，表示 $m$ 个学校的预计录取分数。第三行有 $n$ 个数，表示 $n$ 个学生的估分成绩。

输出格式

输出一行，为最小的不满度之和。

样例 #1

样例输入 #1

4 3
513 598 567 689
500 600 550

样例输出 #1

32

思路

• 二分枚举答案
• 优化O(n*n)至O(nlogn)
• 注意l=0，因为我排序了！！！下标从0开始了！！！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;
int m, n;
vector<ll>student(100009, 0);
vector<ll>school(100009, INT_MAX);
ll search(int target) {ll l = 0, r = m,mid=0;ll minval = INT_MAX;while (l <= r) {mid = (l + r) / 2;      if (school[mid] < target) {minval = min(minval, abs(school[mid] - target));l = mid + 1;}else if (school[mid] == target) {return 0;}else {minval = min(minval, abs(school[mid] - target));r = mid - 1;}}return minval;
}
void solve() {cin >> m >> n;for (int i = 1; i <= m; i++) {cin >> school[i];}for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> student[i];}sort(school.begin(), school.end());//排序后下标改变了！！！ll sum = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {sum += search(student[i]);}cout << sum;
}
signed main() {std::ios::sync_with_stdio(false);std::cin.tie(0); std::cout.tie(0);solve();return 0;
}