时间延迟嵌入定理（Time-Delay Embedding Theorem），也称为Takens嵌入定理，由荷兰数学家Floris Takens在1981年提出。这个定理在动力系统理论中非常重要，特别是在从实验数据重建动力系统的状态空间模型方面具有广泛应用。时间延迟嵌入定理为我们提供了一种方法，通过观测到的单一时间序列数据来重构整个动力系统的相空间，即便原系统的全部状态变量未知。

基本概念

在动力系统分析中，我们通常希望从系统的状态向量演化来理解系统行为。然而，在实际应用中，我们可能无法直接观察到全部的状态变量，而只能获取单一或有限几个变量的时间序列数据。

定理内容

Takens定理指出，如果我们有一个光滑的动态系统，并从中测量一个变量，那么通过将这个变量在不同时间点的值组成向量（通过时间延迟嵌入），就有可能在一个高维空间中重构出与原系统动力学等价的相空间。具体来说，这个过程是通过构造一个向量序列来实现的：
$[\mathbf{x}(t)=\left[x(t),x(t+\tau ),x(t+2\tau ),\dots ,x(t+(m-1)\tau )\right]]$
其中，$x(t)$是观测的时间序列数据，$$\tau$是选定的时间延迟，$m$是嵌入维数，通常由数据和应用决定。

选择延迟和维数

• 延迟 $\tau$：选择一个合适的延迟是关键，这通常通过数据的自相关函数或互信息函数来确定，以确保嵌入向量的各个分量不是完全相关的。
• 嵌入维数 $m$：理论上，嵌入维数至少应该是系统自由度的两倍加一。在实践中，选择嵌入维数通常依赖于假设最小数据冗余和避免过度拟合之间的权衡。

C++实现

要在C++中实现时间延迟嵌入，你需要做的是从原始的时间序列数据中创建一个新的矩阵或向量集，其中每个向量都包含了原始数据中以特定时间延迟为间隔的点。下面是一个C++代码示例，展示了如何从一个给定的信号 x(t) 创建一个时间延迟嵌入矩阵：

#include <iostream>
#include <vector>// 函数用于生成时间延迟嵌入矩阵
std::vector<std::vector<double>> timeDelayEmbedding(const std::vector<double>& signal, int m, int tau) {// 确保输入的参数有效int N = signal.size();int embeddedLength = N - (m - 1) * tau;if (embeddedLength <= 0) {std::cerr << "Error: The combination of embedding dimension and delay is too large." << std::endl;return {}; // 返回空矩阵}std::vector<std::vector<double>> embedding(embeddedLength, std::vector<double>(m));// 填充嵌入矩阵for (int i = 0; i < embeddedLength; ++i) {for (int j = 0; j < m; ++j) {embedding[i][j] = signal[i + j * tau];}}return embedding;
}int main() {// 示例信号数据std::vector<double> signal = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0};// 嵌入维度和时间延迟int m = 3;  // 嵌入维度int tau = 1;  // 时间延迟// 生成时间延迟嵌入矩阵std::vector<std::vector<double>> embeddedMatrix = timeDelayEmbedding(signal, m, tau);// 打印结果std::cout << "Time-Delay Embedded Matrix:" << std::endl;for (const auto& row : embeddedMatrix) {for (double val : row) {std::cout << val << " ";}std::cout << std::endl;}return 0;
}

打印结果为：
Time-Delay Embedded Matrix:
1 2 3
2 3 4
3 4 5
4 5 6
5 6 7
6 7 8
7 8 9
8 9 10

当 int m = 3; // 嵌入维度
int tau = 2; // 时间延迟
时，输出的结果为：
1 3 5
2 4 6
3 5 7
4 6 8
5 7 9
6 8 10

代码解释：

1. 函数定义：timeDelayEmbedding接受原始信号（signal），嵌入维度（m）和时间延迟（tau）作为输入。
2. 错误处理：检查生成的嵌入矩阵长度是否合法。
3. 嵌入过程：通过两层循环生成时间延迟嵌入矩阵。外层循环控制行，内层循环控制列，即每个时间点的延迟数据。
4. 打印结果：在主函数中，生成的嵌入矩阵被打印出来，以便于验证结果。

总结

时间延迟嵌入可以使我们通过时间序列中的单变量观测数据来重构系统的动态特性，但它并不增加新的信息量。所有的信息都是从原始信号中提取的，时间嵌入的向量通过映射保存了原始系统的动力学特征，但没有新增额外的信息。这使得时间嵌入方法成为了理解和分析复杂系统行为的有力工具。它特别适用于那些难以获得系统全部状态信息的场景。