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1143.最长公共子序列

动态规划法

392.判断子序列

动态规划法

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1143.最长公共子序列

• 题目链接：1143. 最长公共子序列 - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

  • 本题和动态规划：718. 最长重复子数组 (opens new window)区别在于这里不要求是连续的了，但要有相对顺序，即："ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

• 解题步骤

  • 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]

  • 确定递推公式：主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

  • dp数组如何初始化：test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;同理dp[0][j]也是0。其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

  • 确定遍历顺序：从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j]，那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

  • 举例推导dp数组：

• 代码一：动态规划

class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
class Solution {
public:int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {vector<vector<int>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));for (int i = 1; i <= text1.size(); i++) {for (int j = 1; j <= text2.size(); j++) {if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) {dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;} else {dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[text1.size()][text2.size()];}
};}
};

392.判断子序列

• 题目链接：392. 判断子序列 - 力扣（LeetCode）

• 文章讲解：代码随想录

动态规划法

• 解题思路

  • 这道题应该算是编辑距离的入门题目，因为从题意中可以发现，只需要计算删除的情况，不用考虑增加和替换的情况。所以掌握本题的动态规划解法是对后面要讲解的编辑距离的题目打下基础。

• 解题步骤

    if (s[i - 1] == t[j - 1])，那么dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;，因为找到了一个相同的字符，相同子序列长度自然要在dp[i-1][j-1]的基础上加1（如果不理解，在回看一下dp[i][j]的定义）

    if (s[i - 1] != t[j - 1])，此时相当于t要删除元素，t如果把当前元素t[j - 1]删除，那么dp[i][j] 的数值就是 看s[i - 1]与 t[j - 2]的比较结果了，即：dp[i][j] = dp[i][j - 1];

  • 确定dp数组（dp table）以及下标的含义：dp[i][j] 表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。注意这里是判断s是否为t的子序列。即t的长度是大于等于s的。

  • 确定递推公式：在确定递推公式的时候，首先要考虑如下两种操作，整理如下：

    • if (s[i - 1] == t[j - 1]) t中找到了一个字符在s中也出现了

    • if (s[i - 1] != t[j - 1]) 相当于t要删除元素，继续匹配

  • dp数组如何初始化：从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，所以dp[0][0]和dp[i][0]是一定要初始化的。这里大家已经可以发现，在定义dp[i][j]含义的时候为什么要表示以下标i-1为结尾的字符串s，和以下标j-1为结尾的字符串t，相同子序列的长度为dp[i][j]。因为这样的定义在dp二维矩阵中可以留出初始化的区间。如果要是定义的dp[i][j]是以下标i为结尾的字符串s和以下标j为结尾的字符串t，初始化就比较麻烦了。dp[i][0] 表示以下标i-1为结尾的字符串，与空字符串的相同子序列长度，所以为0. dp[0][j]同理。

  • 确定遍历顺序：同理从递推公式可以看出dp[i][j]都是依赖于dp[i - 1][j - 1] 和 dp[i][j - 1]，那么遍历顺序也应该是从上到下，从左到右

  • 举例推导dp数组：dp[i][j]表示以下标i-1为结尾的字符串s和以下标j-1为结尾的字符串t 相同子序列的长度，所以如果dp[s.size()][t.size()] 与 字符串s的长度相同说明：s与t的最长相同子序列就是s，那么s 就是 t 的子序列。图中dp[s.size()][t.size()] = 3， 而s.size() 也为3。所以s是t 的子序列，返回true。

• 代码一：动态规划

class Solution {
public:bool isSubsequence(string s, string t) {vector<vector<int>> dp(s.size() + 1, vector<int>(t.size() + 1, 0));for (int i = 1; i <= s.size(); i++) {for (int j = 1; j <= t.size(); j++) {if (s[i - 1] == t[j - 1]) dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;else dp[i][j] = dp[i][j - 1];}}if (dp[s.size()][t.size()] == s.size()) return true;return false;}
};