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一、逻辑回归是什么？

逻辑回归是一种预测分析算法，其基于概率理论。对于二分类问题，逻辑回归模型会预测一个事件发生的概率。这是通过使用逻辑函数（也称为Sigmoid函数）实现的，该函数将任意实数映射到0到1的区间内，表示概率。

1. Sigmoid函数

Sigmoid函数公式如下：

$$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$

其中，z 是输入特征和权重的线性组合。

二、如何扩展到多分类

逻辑回归可以通过多种方法扩展到多分类问题，包括“一对多”（One-vs-Rest, OvR）、“一对一”（One-vs-One, OvO）以及“多对多”（Multinomial or Softmax，简称MvM）方法。

1. 一对多（OvR）

在OvR方法中，对于有N个类别的分类问题，我们训练N个不同的二分类逻辑回归模型。每个模型负责将其中一个类别与其它所有类别区分开。这种方法的主要优点是模型数量相对较少，每个模型的训练和预测速度都较快。

实现细节

在OvR方法中，为每个类别创建一个模型。例如，如果有三个类别A、B和C，会训练三个模型：

• 模型1: A与非A（即B和C）
• 模型2: B与非B（即A和C）
• 模型3: C与非C（即A和B）

2. 一对一（OvO）

OvO方法则是在每对类别之间训练一个二分类模型。对于N个类别，这需要训练 ( N \times (N-1) / 2 ) 个模型。每个模型都是一个独立的逻辑回归分类器，专注于区分两个特定的类别。

3. 多对多（MvM）

多对多方法，也称为Softmax回归或多项式逻辑回归，是逻辑回归的直接扩展，用于处理多类分类问题。与OvR和OvO不同，它不是通过组合多个二分类器来实现的，而是直接对多个类别进行建模。

实现细节

在MvM方法中，模型试图学习每个类别相对于其他类别的概率。通过使用Softmax函数实现，它是Sigmoid函数的一种推广，用于多类别。Softmax函数将一个含多个值的向量映射为一个概率分布。

Softmax函数的公式如下：

$$\mathrm{Softmax}(z{)}_i=\frac{e^{z_i}}{{\sum }_{j=1}^K{e}^{z_j}}$$

其中，$z$是输入特征与权重的线性组合， $K$ 是类别的总数，$z_i$是第 $i$个类别的分数。

在训练过程中，模型学习区分各个类别的特征。在预测时，给定一个输入样本，模型会计算每个类别的分数，然后应用Softmax函数来估计属于每个类别的概率，最终选择概率最高的类别。

根据具体的问题和数据集，可以选择适合的方法来将逻辑回归应用于多分类问题。OvR适用于类别数量较少且数据平衡的情况，OvO适用于类别较多的复杂问题，而MvM提供了一种直接对多个类别进行建模的方法，尤其适用于类别之间存在内在顺序或关联的情况。

三、sklearn库实现

使用Python的scikit-learn库实现逻辑回归的多分类。

1. 引入库

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score, classification_report
from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.multiclass import OneVsOneClassifier

2. 加载并准备数据

使用scikit-learn中的鸢尾花数据集作为示例。数据集包含三种鸢尾花的特征数据，总共150个样本。

# 加载数据
iris = load_iris()
X, y = iris.data, iris.target# 分割数据为训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

3. 使用OvR方法训练模型

# 使用OvR方法训练模型
model_ovr = LogisticRegression(multi_class='ovr', max_iter=200)
model_ovr.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred_ovr = model_ovr.predict(X_test)# 评估模型
print("OvR方法")
print(f"准确率: {accuracy_score(y_test, y_pred_ovr)}")
print("分类报告:")
print(classification_report(y_test, y_pred_ovr))OvR方法
准确率: 0.9666666666666667
分类报告:precision    recall  f1-score   support0       1.00      1.00      1.00        101       1.00      0.89      0.94         92       0.92      1.00      0.96        11accuracy                           0.97        30macro avg       0.97      0.96      0.97        30
weighted avg       0.97      0.97      0.97        30

4. 使用OvO方法训练模型

# 使用OvO方法训练模型
model_ovo = OneVsOneClassifier(LogisticRegression(max_iter=200))
model_ovo.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred_ovo = model_ovo.predict(X_test)# 评估模型
print("OvO方法")
print(f"准确率: {accuracy_score(y_test, y_pred_ovo)}")
print("分类报告:")
print(classification_report(y_test, y_pred_ovo))OvO方法
准确率: 1.0
分类报告:precision    recall  f1-score   support0       1.00      1.00      1.00        101       1.00      1.00      1.00         92       1.00      1.00      1.00        11accuracy                           1.00        30macro avg       1.00      1.00      1.00        30
weighted avg       1.00      1.00      1.00        30

5. 使用MvM方法训练模型

model_mvm = LogisticRegression(multi_class='multinomial', solver='lbfgs', max_iter=200)
model_mvm.fit(X_train, y_train)# 预测
y_pred_mvm = model_mvm.predict(X_test)# 评估模型
print("MvM方法")
print(f"准确率: {accuracy_score(y_test, y_pred_mvm)}")
print("分类报告:")
print(classification_report(y_test, y_pred_mvm))MvM方法
准确率: 1.0
分类报告:precision    recall  f1-score   support0       1.00      1.00      1.00        101       1.00      1.00      1.00         92       1.00      1.00      1.00        11accuracy                           1.00        30macro avg       1.00      1.00      1.00        30
weighted avg       1.00      1.00      1.00        30