目录
一元函数积分学
1. 不定积分
1.1 不定积分的定义
1.2 不定积分的性质
1.3 不定积分的计算方法
2. 定积分
2.1 定积分的定义
2.2 定积分的性质
2.3 定积分的计算方法
3. 定积分的应用
3.1 求平面图形的面积
3.2 求旋转体的体积
3.3 求曲线的弧长
3.4 求曲面的面积
3.5 求物理量
4. 广义积分
4.1 广义积分的定义
4.2 广义积分的性质
5. 考研真题分析
5.1 考查重点
5.2 难点
5.3 解题技巧
6. 总结
一元函数积分学
一元函数积分学是高等数学的重要组成部分，也是考研数学数一中必考的内容。本章主要介绍不定积分、定积分、定积分的应用以及广义积分。
1. 不定积分
1.1 不定积分的定义
不定积分 是指导数为已知函数的函数。
更准确地说，如果函数 F(x) 的导数为 f(x)，即 F'(x) = f(x)，那么称 F(x) 是 f(x) 的一个不定积分，记为：
∫f(x)dx = F(x) + C
其中 C 为任意常数，称为积分常数。
不定积分反映了函数的原始函数，它可以用来求解微分方程、计算面积、体积等。
1.2 不定积分的性质
不定积分具有以下重要性质：
- 不定积分的线性性质：
∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx
其中 a 和 b 为常数。
- 不定积分的积分常数： 不定积分的积分常数是任意的，它可以取任何值。
1.3 不定积分的计算方法
不定积分的计算方法主要有两种：
-
积分公式： 一些基本函数的不定积分可以直接用公式计算，例如：
函数 不定积分 x^n x^(n+1)/(n+1) + C (n ≠ -1) sin(x) -cos(x) + C cos(x) sin(x) + C e^x e^x + C 1/x ln -
积分法则： 一些复杂函数的不定积分可以通过积分法则来计算，例如：
- 换元积分法： 将被积函数和积分变量用新的变量替换，从而简化积分。
- 分部积分法： 将被积函数分解成两个函数的乘积，然后利用分部积分公式来计算积分。
例如：
-
求函数 f(x) = x^2 * sin(x) 的不定积分：
- 使用分部积分法：
∫x^2 * sin(x)dx = -x^2 * cos(x) + ∫2x * cos(x)dx
- 继续使用分部积分法：
∫2x * cos(x)dx = 2x * sin(x) - ∫2 * sin(x)dx
- 因此，
∫x^2 * sin(x)dx = -x^2 * cos(x) + 2x * sin(x) + 2 * cos(x) + C
2. 定积分
2.1 定积分的定义
定积分 是指函数在某区间上的面积。
更准确地说，函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分定义为：
∫(a to b) f(x)dx = lim(n->∞) ∑(i=1 to n) f(ξi) * Δxi
其中：
- n 是分割区间的个数。
- Δxi 是第 i 个小区间的长度。
- ξi 是第 i 个小区间内的任意一点。
定积分反映了函数在某区间上的累积效应，它可以用来计算面积、体积、功、力矩等。
2.2 定积分的性质
定积分具有以下重要性质：
- 定积分的线性性质：
∫(a to b) [af(x) + bg(x)]dx = a∫(a to b) f(x)dx + b∫(a to b) g(x)dx
其中 a 和 b 为常数。
- 定积分的积分区间性质：
∫(a to b) f(x)dx = -∫(b to a) f(x)dx
∫(a to b) f(x)dx = ∫(a to c) f(x)dx + ∫(c to b) f(x)dx
其中 a，b，c 为任意实数。
2.3 定积分的计算方法
定积分的计算方法主要有两种：
- 牛顿-莱布尼兹公式： 如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，并且 F(x) 是 f(x) 的一个不定积分，那么：
∫(a to b) f(x)dx = F(b) - F(a)
- 换元积分法和分部积分法： 可以将定积分转化为不定积分，然后利用换元积分法和分部积分法来计算。
例如：
-
求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分：
- 使用牛顿-莱布尼兹公式：
∫(0 to 1) x^2dx = [x^3/3](1) - [x^3/3](0) = 1/3
3. 定积分的应用
定积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，主要包括以下几个方面：
3.1 求平面图形的面积
- 平面图形的面积： 如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，那么函数曲线 y = f(x)，x 轴以及直线 x = a 和 x = b 所围成的平面图形的面积为：
S = ∫(a to b) f(x)dx
3.2 求旋转体的体积
- 旋转体的体积： 如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，那么函数曲线 y = f(x)，x 轴以及直线 x = a 和 x = b 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积为：
V = π∫(a to b) f^2(x)dx
3.3 求曲线的弧长
- 曲线的弧长： 如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，那么函数曲线 y = f(x) 在区间 [a, b] 上的弧长为：
L = ∫(a to b) √[1 + (f'(x))^2]dx
3.4 求曲面的面积
- 曲面的面积： 如果函数 z = f(x, y) 在区域 D 上连续，那么曲面 z = f(x, y) 在区域 D 上的面积为：
S = ∫∫(D) √[1 + (∂f/∂x)^2 + (∂f/∂y)^2]dxdy
3.5 求物理量
- 功： 如果力 F(x) 是一个关于位置 x 的函数，那么力 F(x) 将物体从位置 a 移动到位置 b 所做的功为：
W = ∫(a to b) F(x)dx
- 力矩： 如果力 F 作用在点 P 处，点 P 到转轴的距离为 r，那么力 F 对转轴的力矩为：
M = F * r
- 质量： 如果密度函数 ρ(x) 是一个关于位置 x 的函数，那么物体在区间 [a, b] 上的质量为：
m = ∫(a to b) ρ(x)dx
- 重心： 如果密度函数 ρ(x) 是一个关于位置 x 的函数，那么物体在区间 [a, b] 上的重心坐标为：
x̄ = (∫(a to b) xρ(x)dx) / m
4. 广义积分
4.1 广义积分的定义
广义积分 是指积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间内有间断点的积分。
例如：
- 积分区间为无穷区间：
∫(a to ∞) f(x)dx
- 被积函数在积分区间内有间断点：
∫(a to b) f(x)dx
其中 f(x) 在 x = c (a < c < b) 处有间断点。
4.2 广义积分的性质
广义积分具有以下重要性质：
- 广义积分的收敛性： 如果广义积分存在，那么称该广义积分收敛；如果广义积分不存在，那么称该广义积分发散。
- 广义积分的计算方法： 可以将广义积分转化为定积分，然后利用定积分的计算方法来计算。
例如：
-
计算广义积分 ∫(1 to ∞) 1/x^2dx：
- 将广义积分转化为定积分：
∫(1 to ∞) 1/x^2dx = lim(b->∞) ∫(1 to b) 1/x^2dx
- 计算定积分：
∫(1 to b) 1/x^2dx = [-1/x](b) - [-1/x](1) = 1 - 1/b
- 计算极限：
lim(b->∞) (1 - 1/b) = 1
- 因此，广义积分 ∫(1 to ∞) 1/x^2dx 收敛，其值为 1。
5. 考研真题分析
5.1 考查重点
- 不定积分的概念和性质
- 不定积分的计算方法
- 定积分的概念和性质
- 定积分的计算方法
- 定积分的应用：求平面图形的面积、求旋转体的体积、求曲线的弧长、求曲面的面积、求物理量
- 广义积分的概念和性质
- 广义积分的计算方法
5.2 难点
- 不定积分的计算：换元积分法、分部积分法
- 定积分的计算：牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法
- 定积分的应用：求平面图形的面积、求旋转体的体积、求曲线的弧长、求曲面的面积、求物理量
- 广义积分的计算：将广义积分转化为定积分
5.3 解题技巧
- 掌握不定积分和定积分的定义和性质
- 熟练运用不定积分和定积分的计算方法
- 理解定积分的几何意义和物理意义
- 灵活运用定积分的应用
- 掌握广义积分的概念和性质
- 熟练运用广义积分的计算方法
6. 总结
| 概念 | 描述 |
|---|---|
| 不定积分 | 导数为已知函数的函数 |
| 定积分 | 函数在某区间上的面积 |
| 广义积分 | 积分区间为无穷区间或被积函数在积分区间内有间断点的积分 |
| 不定积分的计算方法 | 积分公式、积分法则 |
| 定积分的计算方法 | 牛顿-莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法 |
| 广义积分的计算方法 | 将广义积分转化为定积分 |
| 定积分的应用 | 求平面图形的面积、求旋转体的体积、求曲线的弧长、求曲面的面积、求物理量 |
