1. 推导
数列求和
S = a 1 + a 2 + ⋯ + a n , 公比为 q q S = a 2 + a 3 + ⋯ + a n + 1 ( 1 − q ) S = a 1 − a n + 1 a 1 : = 1 化简 ( 1 ) ( 3 ) S = 1 + q + ⋯ + q n − 1 ( 1 − q ) S = 1 − q n ( 4 ) 代入 ( 5 ) ( 1 − q ) ( 1 + q + ⋯ + q n − 1 ) = 1 − q n q : = b a 代入 ( 6 ) 化简 ( 1 − b a ) ( 1 + b a + ⋯ + b n − 1 a n − 1 ) = 1 − ( b n a n ) a ( 1 − b a ) a n − 1 ( 1 + b a + ⋯ + b n − 1 a n − 1 ) = a n − b n ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + ⋯ + b n − 1 ) = a n − b n \begin{align} S&=a_1+a_2+\cdots+a_n,公比为q \\ qS &=a_2+a_3+\cdots+a_{n+1}\\ (1-q)S &=a_1-a_{n+1}\\ a_1 &:= 1 化简(1)(3)\nonumber\\ S &=1 + q +\cdots+q^{n-1}\\ (1-q)S &=1-q^n\\ (4)代入(5) \nonumber\\ (1-q)(1+q+\cdots+q^{n-1}) &=1-q^{n}\\ q:= \frac{b}{a} 代入(6)化简\nonumber\\ (1-\frac{b}{a})(1+\frac{b}{a}+\cdots+\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}}) &=1- (\frac{b^n}{a^n})\nonumber\\ a(1-\frac{b}{a}) a^{n-1}(1+\frac{b}{a} + \cdots+\frac{b^{n-1}}{a^{n-1}}) &= a^n-b^n\nonumber\\ (a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1}) &=a^n-b^n\nonumber\\ \end{align} SqS(1−q)Sa1S(1−q)S(4)代入(5)(1−q)(1+q+⋯+qn−1)q:=ab代入(6)化简(1−ab)(1+ab+⋯+an−1bn−1)a(1−ab)an−1(1+ab+⋯+an−1bn−1)(a−b)(an−1+an−2b+⋯+bn−1)=a1+a2+⋯+an,公比为q=a2+a3+⋯+an+1=a1−an+1:=1化简(1)(3)=1+q+⋯+qn−1=1−qn=1−qn=1−(anbn)=an−bn=an−bn
整理化简结果得到 n n n次方差公式
a n − b n = ( a − b ) ( a n − 1 + a n − 2 b + ⋯ + b n − 1 ) = ( a − b ) × ∑ i = 0 n − 1 a i b n − 1 − i a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})=(a-b)\times \sum_{i=0}^{n-1}a^ib^{n-1-i} an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+bn−1)=(a−b)×i=0∑n−1aibn−1−i
当 n = 2 k + 1 , k ∈ N n=2k+1,k\in N n=2k+1,k∈N时
a n + b n = a n − ( − b ) n = a n − ( − b n ) a^n+b^n=a^n-(-b)^n = a^n-(-b^n) an+bn=an−(−b)n=an−(−bn)
代入上述的 n n n次方差公式得
a n + b n = [ a − ( − b ) ] [ a n − 1 + a n − 2 ( − b ) + ⋯ + ( − b ) n − 1 ] n = 2 k + 1 , k ∈ N a^n+b^n=[a-(-b)][a^{n-1}+a^{n-2}(-b)+\cdots+(-b)^{n-1}]\quad n = 2k+1,k \in N\\ an+bn=[a−(−b)][an−1+an−2(−b)+⋯+(−b)n−1]n=2k+1,k∈N
化简得到
a n + b n = ( a + b ) × ∑ i = 0 n − 1 ( − 1 ) i a i b n − 1 − i n = 2 k + 1 , k ∈ N a^n+b^n=(a+b)\times\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{i}a^ib^{n-1-i}\quad n = 2k+1,k \in N\\ an+bn=(a+b)×i=0∑n−1(−1)iaibn−1−in=2k+1,k∈N
2. 参考
博客园
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