704. 二分查找

这种题有多种写法，我认为应该固定一种写法，从而养成自己的编程直觉，不然很容易造成思维混乱。二分查找说难不难，说简单也不简单。最难的点就是处理边界条件，有时候多个等号会通过，少个等号就通过不了关键是还不知道为什么能过。

示例 1:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:

输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

这道题目是最简单的二分查找，很经典。面对这样的题目，首先就得明白，自己要在开区间搜索还是闭区间搜索，这对于边界条件的把握很关键。

开区间

那就是在[left, right)中查找，此时，right 可以取到 nums 的边界之后，即 right 可以取 nums.size()。一旦决定要用开区间来解决问题，那么边界条件的确定就很关键，要不要加等号？考虑例子 nums = [1], target = 2。此时应该返回 -1。如果加了等号，即 while(left <= right)，那么 下次还会继续再次执行 while(){}, 而 mid = 1,就会造成 越界访问：

// nums = [1], target = 2
class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size(), mid;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target)return mid;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid;}return -1;}
};

因此应该形成这种认知：使用开区间搜索的时候，mid 可能会越界，为了防止越界，应该禁止下次访问：即 while(left < right)：

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size(), mid;while (left < right) {mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target)return mid;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid;}return -1;}
};

闭区间

闭区间搜索是在[left, right]中搜索，mid 的取值是不会越界的，因此 while(left <= right)是没有任何问题的，思路是同时缩进 left、right，直到 left = right：

class Solution {
public:int search(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size()-1, mid;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target)return mid;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid-1;}return -1;}
};

因此我认为应该养成这两种思维中一种，看个人喜欢哪种逼近方式，但必须选一个。我个人喜欢闭区间，这种不会产生越界访问的风险，而且很直观。

35. 搜索插入位置

示例 1:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:

输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

此时，就应该从上一道题目中发展出这道题目的思路了，我自己采用闭区间搜索。

首先这道题目基本功能是搜索一个目标值的索引，因此和上一道题目一致：

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1, mid;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] == target)return mid;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}return -1;}
};

但是，原题要求找不到的时候，要求返回应该插入的位置，因此在返回到 -1 的位置，返回left。为什么可以这样？

我们应该注意到，找不到的时候，left、right 是什么状态。假设 nums = [1,3,5,6]，target = 4：

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1, mid;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] == target)return mid;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}return -1;}
};

• left = 0，right = 3：mid = 1，nums[mid] = 3 < 4，left = 2;
• left = 2，right = 3：mid = 2，nums[mid] = 5 > 4，right = 2；
• left = 2，right = 2：mid = 2，nums[mid] = 5 > 4，right = 1;

退出循环，可以看到，此时 left 的位置是大于 target 的第一个位置，这来源于 if (nums[mid] < target) left = mid + 1;，因此，我们需要在最后 return left。

class Solution {
public:int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1, mid;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2; if (nums[mid] == target)return mid;if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}return left;}
};

744. 寻找比目标字母大的最小字母

示例 1：

输入: letters = [“c”, “f”, “j”]，
target = “a” 输出: “c”
解释：letters 中字典上比 ‘a’ 大的最小字符是 ‘c’。

示例 2:

输入: letters = [“c”,“f”,“j”], target = “c”
输出: “f”
解释：letters 中字典顺序上大于 ‘c’ 的最小字符是 ‘f’。

示例 3:

输入: letters = [“x”,“x”,“y”,“y”], target = “z”
输出: “x”
解释：letters 中没有一个字符在字典上大于 ‘z’，所以我们返回 letters[0]。

这道题目依然来源于第一道题，首先如果能搜索到，那么只需要返回这个字母的下一个不一样的字母就行：

class Solution {
public:char nextGreatestLetter(vector<char>& letters, char target) {int left = 0, right = letters.size() - 1, mid;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2;// 如果找到，那么就返回这个字母的下一个不一样的字母就行if (letters[mid] == target) {while (mid < letters.size() && letters[mid] == target) {mid++;}// 如果越界，说明后面没有比它打的，返回第一个if (mid >= letters.size())return letters[0];elsereturn letters[mid];}if (letters[mid] < target) {left = mid + 1;} elseright = mid - 1;}return letters[0];}
};

当然上面代码是有问题的，但是它目前能解决基本问题，接下来继续改造。

前面说过，如果没搜索到，那么 left 此时指向的就是比目标大的第一个位置，因此可以返回 left。但是如果此时是这一张输入：letters = ["x","x","y","y"]，target = "z"，此时 left 就会越界，此时应该返回 letters[0]。因此：

class Solution {
public:char nextGreatestLetter(vector<char>& letters, char target) {int left = 0, right = letters.size() - 1, mid;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2;if (letters[mid] == target) {while (mid < letters.size() && letters[mid] == target) {mid++;}if (mid >= letters.size())return letters[0];elsereturn letters[mid];}if (letters[mid] < target) {left = mid + 1;} elseright = mid - 1;}return letters[left%letters.size()];}
};

这样就把整个答案完善了。我认为解决这样的问题，必须记住甚至背过最基本的题型以及解法，然后遇到类似的题目可以从它身上发散，做二分，就是在做边界条件。

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

示例 1：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出：[3,4]

示例 2：

输入：nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出：[-1,-1]

示例 3：

输入：nums = [], target = 0
输出：[-1,-1]

这道题目虽然是中等难度的题目，但是还是很简单的，难点就是把握边界条件。首先查找：

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1, mid, pos = -1;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target) {pos = mid;break;}if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}// 接着处理}
};

如果没有找到，那么返回 {-1, -1}；如果找到了，那么就很好，我们只需要从这个值向两边查找就行：

if (pos == -1)return {-1, -1};int p1 = pos, p2 = pos; // 搜索边界while (p1 >= 0) {if (nums[p1] == target) {p1--;} elsebreak;}while (p2 < nums.size()) {if (nums[p2] == target) {p2++;} elsebreak;}return {p1+1, p2-1};

因为从 while 中出来时，p1、p2的值一定是超越正确位置一个身位的，因此必须返回 {p1+1, p2-1};。因此整个题目的解法就是：

class Solution {
public:vector<int> searchRange(vector<int>& nums, int target) {int left = 0, right = nums.size() - 1, mid, pos = -1;while (left <= right) {mid = left + (right - left) / 2;if (nums[mid] == target) {pos = mid;break;}if (nums[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}if (pos == -1)return {-1, -1};int p1 = pos, p2 = pos; // 搜索边界while (p1 >= 0) {if (nums[p1] == target) {p1--;} elsebreak;}while (p2 < nums.size()) {if (nums[p2] == target) {p2++;} elsebreak;}return {p1+1, p2-1};}
};

现在看看二分难吗？是不是很简单，套路基本就是搜，搜到了处理一下，搜不到再处理一下。

总结：二分查找及其应用

这篇文章详细讲解了二分查找的基本原理、不同变体的使用方法及其在几道经典题目中的应用。以下是对文章内容的总结：

一、二分查找的基本原理

二分查找是一种高效的查找算法，适用于已经排序的数组。其核心思想是每次将查找范围缩小一半，直到找到目标元素或范围为空。其时间复杂度为 O(log n)。

二、开区间与闭区间

1. 开区间 [left, right)：

   • 查找范围是 [left, right)，即 right 不包含在查找范围内。
   • 退出循环条件为 while (left < right)，防止越界。
   • 适用于需要严格防止越界的场景。

2. 闭区间 [left, right]：

   • 查找范围是 [left, right]，即 right 包含在查找范围内。
   • 退出循环条件为 while (left <= right)，更直观且不会越界。
   • 适用于大多数查找问题。

三、应用实例

1. 704. 二分查找：

   • 题目：在排序数组中查找目标值，返回其索引，找不到返回 -1。
   • 思路：可以使用开区间或闭区间的方式进行查找，本文推荐闭区间 [left, right] 的方式，便于处理边界条件。

2. 35. 搜索插入位置：

   • 题目：在排序数组中查找目标值的插入位置。
   • 思路：在查找过程中，如果找不到目标值，返回 left，因为 left 最终会指向第一个大于等于目标值的位置。

3. 744. 寻找比目标字母大的最小字母：

   • 题目：在排序字符数组中找到大于目标字符的最小字符。
   • 思路：如果目标字符存在，则返回其下一个不相同的字符；否则，返回 left 指向的字符，注意处理越界情况。

4. 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置：

   • 题目：在排序数组中查找目标值的第一个和最后一个位置。
   • 思路：先用二分查找找到一个目标值的位置，然后从该位置向两边扩展，找到目标值的边界。注意在退出循环时，边界值需要处理准确。

核心思想

1. 选择区间类型：根据题目要求和边界条件，选择合适的区间类型（开区间或闭区间）。
2. 处理边界条件：在编写循环条件和更新索引时，要小心处理边界情况，防止越界。
3. 扩展查找结果：在找到目标值后，根据题目要求，可能需要进一步处理，如查找边界或插入位置。
4. 优化性能：二分查找的效率在于快速缩小查找范围，确保算法的时间复杂度为 O(log n)。