看到 DETR 的损失函数的时候，你是否有下面的疑问：

• 公式中的 $\sigma \in {\mathfrak{S}}_N$ 是什么意思?
• 公式中的 ${\hat{y}}_{\sigma (i)}$ 的下标 $\sigma (i)$ 又有什么含义？
• DETR 的损失函数计算的完整流程又是怎么样的？
• 为什么计算 box 损失的时候为什么要加上 GIOU 损失
• …

等等问题，都可以在下面的文章中得到解答。

概述

在 DETR 中，进行梯度更新可以分成 2 步：

1. 使用匈牙利匹配算法，根据优化函数求解集合 $y$ 与 $\hat{y}$ 的最佳匹配：集合 $\hat{y}$ 的排列 $\hat{\sigma }$。$$\hat{\sigma }=\underset{\sigma \in {\mathfrak{S}}_N}{\mathrm{argmin}}\sum _i^N{\mathcal{L}}_{\text{match}}(y_i,{\hat{y}}_{\sigma (i)})$$ L match ( y i , y ^ σ ( i ) ) = − 1 { c i ≠ ∅ } p ^ σ ( i ) ( c i ) + 1 { c i ≠ ∅ } L box ( b i , b ^ σ ( i ) ) \mathcal{L}_{\text{match}}(y_i, \hat{y}_{\sigma(i)}) = -\mathbb{1}_{\{c_i\ne \varnothing\}}\hat{p}_{\sigma(i)}(c_i) + \mathbb{1}_{\{c_i\ne \varnothing\}}\mathcal{L}_{\text{box}}(b_i, \hat{b}_{\sigma(i)} ) Lmatch​(yi​,y^​σ(i)​)=−1{ci​=∅}​p^​σ(i)​(ci​)+1{ci​=∅}​Lbox​(bi​,b^σ(i)​)
2. 根据集合 $\hat{y}$ 最佳排列 $\hat{\sigma }$ 带入损失函数中求解损失，并进行梯度更新。 L Hungarian ( y , y ^ ) = ∑ i = 1 N [ − log ⁡ p ^ σ ^ ( i ) ( c i ) + 1 { c i ≠ ∅ } L box ( b i , b ^ σ ^ ( i ) ) ] \mathcal{L}_{\text{Hungarian}}(y, \hat{y}) = \sum_{i=1}^N \left[ -\log\hat{p}_{\hat{\sigma}(i)}(c_i) + \mathbb{1}_{\{c_i \ne \varnothing\}}\mathcal{L}_{\text{box}}(b_i, \hat{b}_{\hat{\sigma}(i)})\right] LHungarian​(y,y^​)=i=1∑N​[−logp^​σ^(i)​(ci​)+1{ci​=∅}​Lbox​(bi​,b^σ^(i)​)]$${\mathcal{L}}_{\text{box}}(b_i,{\hat{b}}_{\hat{\sigma }(i)})={\lambda }_{\text{giou}}{\mathcal{L}}_{\text{giou}}(b_i,{\hat{b}}_{\hat{\sigma }(i)})+{\lambda }_{\text{L1}}||b_i-{\hat{b}}_{\hat{\sigma }(i)}|{|}_1$$

可以看出来，其实想要理解 DETR 的损失函数是怎么计算的，只要理解上面的 4 个公式就行了。

第一步：求最佳 $\hat{\sigma }$

$$\hat{\sigma }=\underset{\sigma \in {\mathfrak{S}}_N}{\mathrm{argmin}}\sum _i^N{\mathcal{L}}_{\text{match}}(y_i,{\hat{y}}_{\sigma (i)})$$（还不算是损失函数，只是通过匈牙利匹配算法求解最优排列的一个优化目标函数）

• y = { y i } i = 1 N y=\{y_i\}_{i=1}^N y={yi​}i=1N​：表示 $N$个 ground truth 的集合，其中 $y_i$是第 $i$ 个 ground truth，当然实际中，集合 $y$ 中的 ground truth 数量是远小于 $N$的，为了让 $y$ 与 $\hat{y}$ 两个集合大小一致，在集合 $y$ 中会使用 $\varnothing$ （no object）来对集合进行填充。
• y ^ = { y ^ i } i = 1 N \hat{y}=\{\hat{y}_i\}_{i=1}^N y^​={y^​i​}i=1N​：表示 $N$个 预测的集合，其中 ${\hat{y}}_i$是第 $i$ 个预测。
• $\sigma$：是一种预测值 $\hat{y}$ 的排列方式，我们知道集合 $y$ 与集合 $\hat{y}$ 要一一匹配，然后进行排列，我们把 $y$ 的排列顺序固定，就只需要调整 $\hat{y}$ 的排列顺序就可以了，而 $\sigma$就是表示的集合 $\hat{y}$ 的某种排列方式，${\hat{y}}_{\sigma (i)}$ 也只是表示，在 $\sigma$这种排列中，第 $i$ 个预测值。
• ${\mathfrak{S}}_N$：是排列 $\sigma$ 的集合，也是一种对称群？ ${\mathrm{argmin}}_{\sigma \in {\mathfrak{S}}_N}$表示在 ${\mathfrak{S}}_N$内存在一种集合 $\hat{y}$ 的排列 $\sigma$，可以使得匈牙利匹配的 cost 最低。
• ${\mathcal{L}}_{\text{match}}(y_i,{\hat{y}}_{\sigma (i)})$：是 pair-wise matching cost ，一般是使用匈牙利算法进行计算的。

---

L match ( y i , y ^ σ ( i ) ) = − 1 { c i ≠ ∅ } p ^ σ ( i ) ( c i ) + 1 { c i ≠ ∅ } L box ( b i , b ^ σ ( i ) ) \mathcal{L}_{\text{match}}(y_i, \hat{y}_{\sigma(i)}) = -\mathbb{1}_{\{c_i\ne \varnothing\}}\hat{p}_{\sigma(i)}(c_i) + \mathbb{1}_{\{c_i\ne \varnothing\}}\mathcal{L}_{\text{box}}(b_i, \hat{b}_{\sigma(i)} ) Lmatch​(yi​,y^​σ(i)​)=−1{ci​=∅}​p^​σ(i)​(ci​)+1{ci​=∅}​Lbox​(bi​,b^σ(i)​)每个 ground truth $y_i$都是由两部分信息组成的，类别 + 位置，也可以写成 $y_i=(c_i,b_i)$，其中：

• $c_i$：表示类别信息（也有可能是空 $\varnothing$ ）
• $b_i$：表示位置信息，是一个归一化（值都小于 1 ）的向量，有 4 个值，分别表示 box 中心点的坐标和宽高。

对于预测值 ${\hat{y}}_{\sigma (i)}$，我们将类别和位置信息定义为 ${\hat{y}}_{\sigma (i)}=({\hat{p}}_{\sigma (i)}(c_i),{\hat{b}}_{\sigma (i)})$。

• ${\hat{p}}_{\sigma (i)}(c_i)$：我们已经知道了 ground truch 的类别信息 $c_i$，这个概率值是通过模型的分类器计算得出的，反映了模型对于该预测值属于类别 $c_i$ 的确信度。

第二步：求损失

L Hungarian ( y , y ^ ) = ∑ i = 1 N [ − log ⁡ p ^ σ ^ ( i ) ( c i ) + 1 { c i ≠ ∅ } L box ( b i , b ^ σ ^ ( i ) ) ] \mathcal{L}_{\text{Hungarian}}(y, \hat{y}) = \sum_{i=1}^N \left[ -\log\hat{p}_{\hat{\sigma}(i)}(c_i) + \mathbb{1}_{\{c_i \ne \varnothing\}}\mathcal{L}_{\text{box}}(b_i, \hat{b}_{\hat{\sigma}(i)})\right] LHungarian​(y,y^​)=i=1∑N​[−logp^​σ^(i)​(ci​)+1{ci​=∅}​Lbox​(bi​,b^σ^(i)​)]论文这里还将 ${\hat{b}}_{\hat{\sigma }(i)}$打错成了 ${\hat{b}}_{\hat{\sigma }}(i)$。

• $\hat{\sigma }$是最优的排列，也就是使得整体 cost 最小的 $\hat{y}$ 排列。
• $\log$：这里存在一个问题，为什么上面的 − 1 { c i ≠ ∅ } p ^ σ ( i ) ( c i ) -\mathbb{1}_{\{c_i\ne \varnothing\}}\hat{p}_{\sigma(i)}(c_i) −1{ci​=∅}​p^​σ(i)​(ci​) 在这里就变成了 $-\log {\hat{p}}_{\hat{\sigma }(i)}(c_i)$。一个 no object $\varnothing$（$y$） 与预测值（$\hat{y}$）的 ${\mathcal{L}}_{\text{match}}(y_i,{\hat{y}}_{\sigma (i)})$匹配代价实际上并不取决于预测值，因为 $c_i=\varnothing$的时候，因为指示函数的关系，${\mathcal{L}}_{\text{match}}(y_i,{\hat{y}}_{\sigma (i)})=0$，也就是一个常数。在计算匹配代价（cost）的类别代价（cost）的时候，我们使用概率而不是对数概率，因为实际效果更好。
• 上面的公式是为了求解最优的排列 $\hat{\sigma }$，而这里根据最优的排列 $\hat{\sigma }$ 来求解损失。一般来说，为了解决类间不平衡问题，会在 $c_i=\varnothing$ 对数概率项前乘以 $1/10$来降低权重。

---

$${\mathcal{L}}_{\text{box}}(b_i,{\hat{b}}_{\hat{\sigma }(i)})={\lambda }_{\text{giou}}{\mathcal{L}}_{\text{giou}}(b_i,{\hat{b}}_{\hat{\sigma }(i)})+{\lambda }_{\text{L1}}||b_i-{\hat{b}}_{\hat{\sigma }(i)}|{|}_1$$

• 直接使用 L1 损失：因为 L1 损失是计算绝对值，但是在目标检测中，大目标和小目标，即便是有着相同的相对误差（relative error），其绝对误差，也就是 L1 损失值都会有很大差异，对尺度的支持比较差。
• 所以为了缓解 L1 损失的尺度不变性比较差的问题，我们引入了 GIOU（关于 GIOU 的部分，我后续有时间再进行补充吧）

后言

还有什么疑问或者问题可以在评论区评论，我会尽可能的解答并更新文章。