前言:
背包问题（Knapsack Problem）是组合优化问题中的一个经典问题，有多个变种。这里我们讨论的是 0/1 背包问题，这是最基本的一种形式。问题的描述如下：
给定 n 件物品，每件物品有一个重量 wi 和一个价值 vi，以及一个背包，它能够承载的最大重量为 W。我们需要确定应该将哪些物品放入背包，以使得背包内物品的总价值最大。
其中:0/1表示该物品是否被选中放入背包中(1代表选中,0代表不选中).
背包问题分类:
- 0-1背包问题
- 完全背包问题
- 多重背包问题
- 混合背包问题
- 二维背包问题
- 分组背包问题
- 有依赖的背包问题 (困难)
解题思路:
使用动态规划可以有效地解决 0/1 背包问题。动态规划的思想是将问题分解成子问题，并利用子问题的解来构建原问题的解。
- 定义状态：用 dp[i][j]表示前 i件物品恰好放入一个容量为 j的背包时所能获得的最大价值。
- 状态转移方程：
- 如果不选第 i件物品：dp[i][j]=dp[i−1][j]
- 如果选第 i件物品：dp[i][j]=dp[i−1][j−wi]+vi
- 综上：dp[i][j]=max(dp[i−1][j],dp[i−1][j−wi]+vi)
- 初始条件：dp[0][j]=0对于所有的 j，即没有物品时的最大价值为 0。
实现代码
public class Knapsack {public static int knapsack(int W, int[] weights, int[] values, int n) {int[][] dp = new int[n + 1][W + 1];for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int w = 0; w <= W; w++) {if (weights[i - 1] <= w) {dp[i][w] = Math.max(dp[i - 1][w], dp[i - 1][w - weights[i - 1]] + values[i - 1]);} else {dp[i][w] = dp[i - 1][w];}}}return dp[n][W];}public static void main(String[] args) {int W = 50; // 背包容量int[] weights = {10, 20, 30}; // 物品重量int[] values = {60, 100, 120}; // 物品价值int n = values.length;System.out.println("最大价值: " + knapsack(W, weights, values, n));}
}
QA1:
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