传统的STARK系统需要在域中具有平滑阶数的循环群。如此，可以通过采用快速傅里叶变换（FFT）算法高效的计算多项式的插值点，并在相邻行中加入约束。对于具有阶数为 $n$ 单位根的有限域${\mathbb{F}}_p$，对于很多基本的多项式运算，FFT是最快的已知的代数算法，如乘法、除法、插值和多点估值。然而，对于不满足平滑阶单位根的域，这些计算的效率将降低。其原因为需引入合成单位根以采用FFT进行加速计算。

为了解决经典的FFT受限于域的平滑阶数单位根问题，Eli Ben-Sasson等人^[1]引入一种新的快速算法用于在所有大的有限域的多项式计算，即椭圆曲线FFT或ECFFT。在该方法中，通过类似Lenstra方法相类似的方法，以椭圆曲线替代乘性群${\mathbb{F}}_q^{\times }$，将快速傅里叶变换的核心应用扩展到所有素数幂$q$。

在Plonky3中，为了使得对于任何有限域STARKs都能高效，发明者采用了类似ECFFT的处理，具体的包括两点^[2]：

• 1） 采用Mersenne素数$p=2^{31}-1$ (即M31)为域；在Plonky2中，采用$p=2^{64}-2^{31}+1$作为模。对于标准的计算机结构，该模值大小可获得高效的域实现。而且，其乘法群具有大小可达$p=2^{32}$的二进制子群，足以支撑高效的FFT Reed-Solomon编码。但是，从高效域实现和算术电路的角度来看，期待更小的域，并且要求尽可能的平滑。对于CFFT友好型的素数应该具有$p=2^{n+1}\times t-1$的形式（$n,t\ge 1$），尤其是$p\equiv 3\mathrm{mod}4$。在STARKs的实现过程中，除了考虑可采用CFFT(或者FFT)提高效率外，域中的算术运算的效率也是素数的主要考虑因素，尤其是取模乘运算。从这个角度来说，最有效的域为Mersenne域，即$p=2^e-1$。因为，对于现代计算机，通常采用64位或者32位计算位宽。这对于素数$p=2^{31}-1$有$2^{32}=2\mathrm{mod}p$，使得乘法的积$2^{32}\times x_{hi}+x_{lo}$很容易缩减到一个更小的量$2\times x_{hi}+x_{lo}$。这对于模乘的计算效率是十分有利的。对于AVX-512指令，M31（2.91 ops/cycle）的乘法效率优于Babyear（2.29 ops/cycle）^[3]。Mersenne素数具有的卓越的运算效率是Plonky3采用其的主要目的。从如下M31域的算术运算可见其效率^[4]：

fn add(self, rhs: Self) -> Self {let mut sum = self.value + rhs.value;let msb = sum & (1 << 31);sum.bitxor_assign(msb);sum += u32::from(msb != 0);Self::new(sum)
}fn mul(self, rhs: Self) -> Self {let prod = u64::from(self.value) * u64::from(rhs.value);let prod_lo = (prod & ((1 << 31) - 1)) as u32;let prod_hi = (prod >> 31) as u32;Self::new(prod_lo) + Self::new(prod_hi)
}

其中，模加时可以不用考虑溢出，没有判断的指令跳转；模乘时的模运算十分高效。而对于Babybear域的模运算^[5]：

fn add(self, rhs: Self) -> Self {let mut sum = self.value + rhs.value;let (corr_sum, over) = sum.overflowing_sub(P);if !over {sum = corr_sum;}Self { value: sum }
}
fn mul(self, rhs: Self) -> Self {let long_prod = self.value as u64 * rhs.value as u64;Self {value: monty_reduce(long_prod),}}

其中，模加的时候需要考虑溢出，带来条件判断的跳转；模乘时模运算需要调用蒙哥马利模约算法。

• 2）由圆曲线$x^2+y^2=1$定义域${\mathbb{F}}_p$。可高效实现算术运算的域是STARKs效率的基础，而是否可采用FFT进行高速点插值是STARKs效率的关键。这要求域中具有平滑阶循环群。在1）中，素数$p$的选择十分有利于CFFT，具有$p\equiv 3\mathrm{mod}4$特性。基于由方程$\mathbf{C}:x^2+y^2=1$定义的域${\mathbb{F}}_p$，圆曲线$\mathbf{C}=\mathbf{C}({\mathbb{F}}_p)$将是一个平滑代数簇^[2]。圆STARKs所有的算术运算都在圆曲线域进行。在给定的群操作下，由$\mathbf{C}({\mathbb{F}}_p)$中$p+1$点构成的圆群是循环的。可见，在$\mathbf{C}({\mathbb{F}}_p)$上构建循环群的STARKs可通过FFT算法高效实现。与 ECFFT 类似，尽管域的群结构扮演着核心角色，但是圆 FFT 也是一种代数 FFT。

在原文献[2]中，作者对比了采用M31的CFFT与基于BabyBear的FFT运行效率。结果为：新的CFFT获得1.4倍速度提升。在此，我们将在新的Intel平台（MSI GE77笔记本电脑，win11 x64, i7-12800HX， 64GB RAM）上对作者的结果进行复测验证，同时增加对于FFT不同域上的计算效率评估。

Table 1 算法运行时间(M31 CFFT)

FFT大小	线程数	M31 CFFT(ms)
2^14	1	13.0
2^16	1	59.5
2^18	1	270
2^20	1	1306
2^22	1	6033

从表1中可见，与原文中的测试时间相比，虽然CFFT的消耗的时间有一定的缩短，在CPU的主频超过4.2GHz，也仅比原作者固定1.5GHz主频情况下的时间消耗少18.5%。这主要是在测试代码[6]中没有采用AVX2指令。

Table 2 FFT运行时间比较(M31域和BabyBear域)

FFT大小	线程数	M31 CFFT(ms)	BabyBear FFT(ms)	比例
2^14	24	96.5	137.6	1.4
2^16	24	195	277	1.4
2^18	24	501	799	1.6
2^20	24	1615	3008	1.6
2^22	24	6222	11241	1.8

在表2中，采用[7]中的测试代码得到的结果验证了M31的效率确实是BabyBear的1.4倍。当测试数据较大时，BabyBear受内存带宽影响，效率将更低于M31。这是因为在测试代码中，M31 FFT是基于复数扩域计算，时间FFT大小是BabyBear FFT的一半。

References：

[1]Ulrich Habock, Daniel Lubarov, and Jacqueline Nabaglo. Reed-Solomon Codes over the Circle Group. In IACR preprint archive, 2023. https://eprint.iacr.org/2023/824.

[2]Ulrich Habock, David Levit, Shahar Papini, Circle STARKs, 2023. https://eprint.iacr.org/2024/278.pdf.

[3] Eli Ben-Sasson, Dan Carmon, Swastik Kopparty, and David Levit. Elliptic Curve Fast Fourier Transform (ECFFT) Part I: Fast polynomial algorithms over all finite fields. In Electronic Colloquium on Compputational Complexity, volume TR21-103, 2021. https://eccc.weizmann.ac.il/report/2021/103/.

[4]https://github.com/Plonky3/Plonky3/blob/6049a30c3b1f5351c3eb0f7c994dc97e8f68d10d/mersenne-31/src/lib.rs

[5]https://github.com/Plonky3/Plonky3/blob/6049a30c3b1f5351c3eb0f7c994dc97e8f68d10d/baby-bear/src/baby_bear.rs

[6]https://github.com/Plonky3/Plonky3/blob/Circle-Fast-Fourier-Transform/cfft/benches/cfft.rs

[7][ S. Setty. Spartan: Efficient and general-purpose zkSNARKs without trusted setup. In CRYPTO, 2020.](https://github.com/Plonky3/Plonky3/blob/Circle-Fast-Fourier-Transform/dft/benches/fft.rs)