115.不同的子序列

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的s子序列中出现以j-1为结尾的t的个数为dp[i][j]

2、确定递推公式

这一类问题，基本是要分析两种情况

• s[i - 1] 与 t[j - 1]相等
• s[i - 1] 与 t[j - 1] 不相等

（1）当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j]可以有两部分组成。

• 一部分是用s[i - 1]来匹配，那么个数为dp[i - 1][j - 1]。即不需要考虑当前s子串和t子串的最后一位字母，所以只需要 dp[i-1][j-1]。
• 一部分是不用s[i - 1]来匹配，个数为dp[i - 1][j]。

为什么还要考虑不用s[i - 1]来匹配？例如： s：bagg 和 t：bag ，s[3] 和 t[2]是相同的，但是字符串s也可以不用s[3]来匹配，即用s[0]s[1]s[2]组成的bag。

当然也可以用s[3]来匹配，即：s[0]s[1]s[3]组成的bag。

所以当s[i - 1] 与 t[j - 1]相等时，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];

（2）当s[i - 1] 与 t[j - 1]不相等时，dp[i][j]只有一部分组成，

不用s[i - 1]来匹配（就是模拟在s中删除这个元素），即：dp[i - 1][j]。所以递推公式为：dp[i][j] = dp[i - 1][j];

3、dp数组如何初始化

dp[i][0] 表示：以i-1为结尾的s可以随便删除元素，出现空字符串的个数。

那么dp[i][0]一定都是1，因为也就是把以i-1为结尾的s，删除所有元素，出现空字符串的个数就是1。

再来看dp[0][j]，dp[0][j]：空字符串s可以随便删除元素，出现以j-1为结尾的字符串t的个数。那么dp[0][j]一定都是0，s如论如何也变成不了t。

最后就要看一个特殊位置了，即：dp[0][0] 应该是多少？dp[0][0]应该是1，空字符串s，可以删除0个元素，变成空字符串t。

4、确定遍历顺序

从上到下，从左到右

5、举例推导dp数组

class Solution:def numDistinct(self, s: str, t: str) -> int:dp = [[0] * (len(t) + 1) for _ in range(len(s) + 1)]for i in range(len(s)+1):dp[i][0] = 1for i in range(1, len(s)+1):for j in range(1, len(t)+1):if s[i-1] == t[j-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]else:dp[i][j] = dp[i-1][j]return dp[-1][-1]

583. 两个字符串的删除操作

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，想要达到相等，所需要删除元素的最少次数。

2、确定递推公式

（1）当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

（2）当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

• 情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
• 情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1
• 情况三：同时删word1[i - 1]和word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 2

所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 2, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

因为 dp[i][j - 1] + 1 = dp[i - 1][j - 1] + 2，所以递推公式可简化为：dp[i][j] = min(dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1);

3、dp数组如何初始化

dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要删除多少个元素，才能和word2相同呢，很明显dp[i][0] = i。

dp[0][j]的话同理

4、确定遍历顺序

从上到下，从左到右

5、举例推导dp数组

class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:dp = [[0] * (len(word2) + 1) for _ in range(len(word1) + 1)]for i in range(len(word1)+1):dp[i][0] = ifor j in range(len(word2)+1):dp[0][j] = jfor i in range(1, len(word1) + 1):for j in range(1, len(word2) + 1):if word1[i-1] == word2[j-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1]else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1)return dp[-1][-1]

72. 编辑距离

1、确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]：以i-1为结尾的字符串word1，和以j-1位结尾的字符串word2，将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

2、确定递推公式

（1）当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]相同的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

（2）当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，有三种情况：

• 情况一：删word1[i - 1]，最少操作次数为dp[i - 1][j] + 1
• 情况二：删word2[j - 1]，最少操作次数为dp[i][j - 1] + 1 (word2添加一个元素，相当于word1删除一个元素)
• 情况三：将word1[i - 1]替换为word2[j - 1]，操作的最少次数为dp[i - 1][j - 1] + 1

所以当word1[i - 1] 与 word2[j - 1]不相同的时候，递推公式：dp[i][j] = min({dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i - 1][j] + 1, dp[i][j - 1] + 1});

3、dp数组如何初始化

dp[i][0]：word2为空字符串，以i-1为结尾的字符串word1要操作多少次，才能和word2相同呢，都删除，很明显dp[i][0] = i。

dp[0][j]的话同理

4、确定遍历顺序

从上到下，从左到右

5、举例推导dp数组

class Solution:def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:dp = [[0] * (len(word2) + 1) for _ in range(len(word1) + 1)]for i in range(1, len(word1)+1):dp[i][0] = ifor j in range(1, len(word2)+1):dp[0][j] = jfor i in range(1, len(word1)+1):for j in range(1, len(word2)+1):if word1[i-1] == word2[j-1]:dp[i][j] = dp[i-1][j-1]else:dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1]+1, dp[i-1][j]+1, dp[i][j-1]+1)return dp[-1][-1]