离散数学--连通性和矩阵

0.关系的运算和性质

1.通路和回路

2.连通关系

3.割点（边）和点（边）割集

4.强（弱）连通&单向连通

0.关系的运算和性质

（1）这个运算包括了矩阵的运算，包括这个幂运算，关系的合成，关系的逆运算，求解幂集等等；

（2）性质包括自反性，反自反性,对称性，反对称性，传递性；

（3）对于一个普通的集合，有多少种关系？就是2的m次方种，m就是集合里面的元素个数的平方，E就是一个集合里面的完全关系，I就是一个集合里面的等价关系，L就是一个集合里面的小于等于关系，D就是一个集合里面的整除关系；

对称性就是要求对于这个集合里面的每一个元素，都有自己到自己的关系，反对称性就是要求这个集合里面的元素都没有环，不同的节点之间的关系对于这个反自反性没有影响；

对称性要求如果两个节点之间有这个关系，那么这个关系必须是双向的，或者是没有关系，环对于这个对称性没有影响；反对称性就是要求这个节点之间的关系是单向的，环对于反对称性也是没有影响的；

传递性就是如果第一个节点有到第二个节点的关系，第二个节点有到第三个节点的关系，那么第一个节点也应该是有第三个节点的关系，这样的关系性质我们称为传递性；

1.通路和回路

（1）初级回路和简单回路

如果这个回路里面经过的所有的顶点都不一样，这个时候就叫做初级回路，也叫做圈；

如果这个回路里面经过的所有的边都不一样，这个时候的回路叫做简单回路，初级回路一定是简单回路，因为经过的顶点不一样的时候，这个经过的边一定不会重复，符合简单回路的定义，但是简单回路不一定是初级回路；

（2）说明

环是长度是1的圈，两条平行边构成的就是长度是2的圈；因为自己是可以和自己成为一个环的；

无向简单图里面圈的长度至少是3，因为至少需要三个顶点才可以构成一个圈，在有向简单图（简单图就是无重边无环）里面，两个顶点之间来回的通路就可以构成圈，所以至少是2；

（3）两种意义

2.连通关系

（1）连通图就是每两个顶点之间形成通路的图，连通关系R就是两个点之间形成的集合（这两个点之间不一定是直接相连的，只要两者之间存在通路就可以）；

（2）连通图的生成子图就是这个连通图的连通分支，有几个生成子图，就会有几个连通分支；

3.割点（边）和点（边）割集

（1）我们的这个割点和点割集主要就是在这个网络结构里面体现出来的，例如对于一个简单的网络结构，我们想要攻击他，使之系统崩溃，如果我们攻击一个点就可以是这个系统崩溃，我们就把这个点叫做割点，攻击一些点可以让这个网络结构崩溃，我们把这些点的集合叫做点割集；

（2）通过建模，我们就可以把这个网络模型抽象为一个图，这个图里面有很多个顶点和边，我们去掉某一个顶点之后，这个图就不再连通，我们就把这个点叫做割点；

去掉某些顶点之后破坏这个图的连通性，这些点我们就叫做点割集，需要注意的是，这些点需要恰到好处，怎么理解呢，就是对于一个简单的连通图而言，如果割掉v1 v3两个顶点就可以破坏这个图的连通性，那么v1 v2 v3割掉这三个顶点一定也可以破会这个图的连通性，但是v1 v2 v3就不是恰到好处的，因为我们去掉两个顶点就可以破坏这个图的连通性了，为什么还要多此一举呢？

（3）实际上，我们的实际应用里面也可以发现，攻击两个点就可以让这个网络结构崩溃掉，为什么要共计三个点来增加我们自己被暴露的风险呢？通过这一点运用就可以让我们更加深刻的理解点割集的定义要求；

（4）下面的就是一个连通图，我们找出这个图的点割集和割点，割点就是v5v6因为只要去掉这两个点里面的任意一个，都会破坏这个图的连通性；

对于点割集而言，v5 v6自身都是可以作为一个点割集存在的，只不过这个集合里面只有一个节点元素，v1v4也是可以作为一个点割集的，去掉这三个点也是可以破坏这个图的连通性的；

而且是恰到好处的，因为我们如果只写一个v1或者v4都不能破坏这个连通性，如果多写就没必要呢，因为这样就多此一举了；