算法复杂度
时间复杂度有关总结
一，常数时间的操作【基本操作】
常数时间——固定时间——O（1）——由实现细节决定
不会随着输入规模的变化而增加时间复杂度
1 基本操作解析
1.算数操作: a+b a-b a*b a/b
int a 32位
int b 32位1+1
17899+78855
- 执行时间一致，同样拥有32位的信息，一样用位相加
- 与数值本身的复杂程度没有关系
- 固定时间操作
2.数组寻址
int[] arrarr[1千万]
arr[2百万]
arr[8百万]数组量大时【例如数百万或数亿个元素时】，可能进行跳转存储，但是查找时是固定时间操作
- 数组逻辑结构为连续的区域，实际可能有几步进行跳转 【在数据量大时，进行分页或多维存储】
- 可以直接用索引取值，为固定时间操作，所用时间为一致的
- 存地址计算：
- Java中的数组是通过一块连续的内存来存储的。假设数组的起始地址是baseAddress，数组元素的大小是elementSize，数组中第i个元素的地址可以通过以下公式计算： elementAddress(i)=baseAddress+i×elementSize
3.linkedlist
- 为跳转结构的，每个结点有记录着下一个结点的地址
- 1千万长度，无法直接找到所需数据，需要跳转【必须从头节点开始逐个遍历节点】
- 找2百万和8百万数据时，所需时间不一致，为非固定时间操作，链表查找操作的时间复杂度为O(n)
2 常见的常数时间操作
以下是常数级时间复杂度操作的总结表格：
| 操作类别 | 示例代码 | 说明 |
|---|---|---|
| 赋值和访问 | int a = 5; | 基本数据类型的赋值 |
arr[i]; | 访问数组元素 | |
obj.field; | 访问对象的字段 | |
| 算术运算 | a + b; | 加法 |
a - b; | 减法 | |
a * b; | 乘法 | |
a / b; | 除法 | |
a % b; | 模运算 | |
| 比较运算 | a == b; | 等于 |
a > b; | 大于 | |
a < b; | 小于 | |
a >= b; | 大于等于 | |
a <= b; | 小于等于 | |
| 逻辑运算 | a && b; | 与 |
| `a | ||
!a; | 非 | |
| 位运算 | a & b; | 位与 |
| `a | b;` | |
a ^ b; | 位异或 | |
~a; | 位非 | |
a << b; | 左移 | |
a >> b; | 右移 | |
a >>> b; | 无符号右移 | |
| 库函数调用 | str.length(); | 获取字符串长度 |
arr.length; | 获取数组长度 | |
System.currentTimeMillis(); | 获取当前时间 | |
| 数据结构操作 | ArrayList | |
list.get(i); | 获取元素 | |
list.set(i, value); | 设置元素 | |
| HashMap | ||
map.get(key); | 获取元素 | |
map.put(key, value); | 插入/更新元素 | |
map.remove(key); | 删除元素 | |
| HashSet | ||
set.add(value); | 添加元素 | |
set.remove(value); | 删除元素 | |
set.contains(value); | 检查是否包含元素 | |
| 对象操作 | new Object(); | 创建新对象 |
obj.method(); | 访问对象方法 | |
obj1.equals(obj2); | 对象比较 |
二 时间复杂度【流程决定】
1 怎么算⭐
理解：算法流程中，数据量为N，执行完整个流程，常数操作数量是什么关系？
数据量很大时，只与阶数最大项有关
怎么估算：
- 将算法流程操作往下分解为常数时间的操作，确定算法流程的总操作数量与样本数量之间的表达式关系。
步骤分解与分析- 确定基本操作：
- 识别算法中的基本操作，如赋值、比较、算术运算等。这些操作的执行时间可以视为常数时间 O(1)O(1)O(1)。
- 分析每一步的操作数量：
- 对于每一部分或步骤，计算基本操作的执行次数。例如，循环体内的操作次数与循环的迭代次数有关。
- 求和所有步骤的操作数量：
- 将所有部分的操作次数相加，得到算法的总操作数量。
- 表达总操作数量与样本数量的关系：
- 将总操作数量表示为样本数量 n 的函数，通常会使用大O符号表示算法的时间复杂度。
- 确定基本操作：
- 最后只看最高阶项的部分。
2 例：选择排序-O（N^2）
流程分析
流程分析要将操作分解为常数时间操作【正确识别基本操作】
错误分解方式【没有正确分解基本操作】
1）—— 0~n-1 找最小 放0位置【看为一个操作】不是常数时间操作
2）—— 1~n-1 找最小 放1位置
. . .
n）—— n-1 不需要操作 这样看不出时间复杂度，
正确分解方式
1）——
①.0~n-1 n个数找最小 n-1次比较 看加比
②.最小值放0位置 交换2）——
①.1~n-1 n-1个数找最小 n-2次比较 看加比
②.最小值放1位置 交换
. . .
（n-1）——
①.n-2~n-1 2个数找最小 1次比较 看加比
②.最小值放n-2位置 交换 （n）n-1位置不需要操作
-
（n-1)+（n-2)+…+1 等差数列
-
a * N^2 +b * N + c (a,b,c为常数) 将 看，比，加操作 相加关系同样为此表达式
-
O（N^2）
图形化流程理解
使用等差数列求和 N就是数据量 和是操作数
代码示例
package class01;import java.util.Arrays;public class Code01_SelectionSort {public static void selectionSort(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return;}// 0 ~ N-1 找到最小值，在哪，放到0位置上// 1 ~ n-1 找到最小值，在哪，放到1 位置上// 2 ~ n-1 找到最小值，在哪，放到2 位置上for (int i = 0; i < arr.length - 1; i++) {int minIndex = i;for (int j = i + 1; j < arr.length; j++) { // i ~ N-1 上找最小值的下标 minIndex = arr[j] < arr[minIndex] ? j : minIndex;}swap(arr, i, minIndex);}}public static void swap(int[] arr, int i, int j) {int tmp = arr[i];arr[i] = arr[j];arr[j] = tmp;}// 对数函数public static void comparator(int[] arr) {Arrays.sort(arr);}// 随机产生数组public static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {// Math.random() [0,1) // Math.random() * N [0,N)// (int)(Math.random() * N) [0, N-1]int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {// [-? , +?]arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());//[0,maxValue+1]-[0,maxValue+1] 形成负的整数和正整数随机数}return arr;}// for testpublic static int[] copyArray(int[] arr) {if (arr == null) {return null;}int[] res = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {res[i] = arr[i];}return res;}// for test 判断是否一致public static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {//一空一不空return false;}if (arr1 == null && arr2 == null) {//都为空return true;}if (arr1.length != arr2.length) {//长度不相等return false;}for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {if (arr1[i] != arr2[i]) {return false;}}return true;}// for test 打印数组public static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}// for testpublic static void main(String[] args) {int testTime = 500000;//测试次数int maxSize = 100;//最大长度int maxValue = 100;//最大值boolean succeed = true;//成败标志for (int i = 0; i < testTime; i++) {//开始测试int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);//生成随机数组int[] arr2 = copyArray(arr1);//拷贝selectionSort(arr1);comparator(arr2);if (!isEqual(arr1, arr2)) {succeed = false;printArray(arr1);printArray(arr2);break;}}System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);printArray(arr);selectionSort(arr);printArray(arr);}}
3 例：list.get-时间复杂度分析
要注意调用的api的底层
- 链表O(N)
- 数组O(1)
for（i=0；i<n:i++)
{list.get(i);打印；
}
循环时间复杂度为：nlist.get如果为链表操作，每次从0开始遍历到i时间复杂度为：N所以此代码时间复杂度为： O（N^2)
4 例：冒泡排序-O（N^2）
流程复杂度分析：
N个数，相邻两数谁大谁往后（O(1)） N个相邻数进行交换 N-1次
N-1个数
N-2个数
等差数列——O（N^2）
代码示例
package class01;import java.util.Arrays;public class Code02_BubbleSort {public static void bubbleSort(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return;}// 0 ~ N-1// 0 ~ N-2// 0 ~ N-3for (int e = arr.length - 1; e > 0; e--) { // 0 ~ efor (int i = 0; i < e; i++) {if (arr[i] > arr[i + 1]) {swap(arr, i, i + 1);}}}}// 交换arr的i和j位置上的值public static void swap(int[] arr, int i, int j) {arr[i] = arr[i] ^ arr[j];arr[j] = arr[i] ^ arr[j];arr[i] = arr[i] ^ arr[j];}// for testpublic static void comparator(int[] arr) {Arrays.sort(arr);}// for testpublic static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());}return arr;}// for testpublic static int[] copyArray(int[] arr) {if (arr == null) {return null;}int[] res = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {res[i] = arr[i];}return res;}// for testpublic static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {return false;}if (arr1 == null && arr2 == null) {return true;}if (arr1.length != arr2.length) {return false;}for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {if (arr1[i] != arr2[i]) {return false;}}return true;}// for testpublic static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}// for testpublic static void main(String[] args) { int testTime = 500000;int maxSize = 100;int maxValue = 100;boolean succeed = true;for (int i = 0; i < testTime; i++) {int[] arr1 = generateRandomArray(maxSize, maxValue);int[] arr2 = copyArray(arr1);bubbleSort(arr1);comparator(arr2);if (!isEqual(arr1, arr2)) {succeed = false;break;}}System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);printArray(arr);bubbleSort(arr);printArray(arr);}}
5 例:插入排序-O（N^2）
插入排序过程:
- 想让arr[0~0]上有序，这个范围只有一个数，当然是有序的。
- 想让arr[0~1]上有序，所以从arr1开始往前看，如果arr1<arr[0]，就交换。否则什么也不做。
- 想让arr[0~i]上有序，所以从arr[i]开始往前看，arr[i]这个数不停向左移动，一直移动到左边的数字不再比自己大，停止移动。
- 最后一步，想让arr[0~N-1]上有序，arr[N-1]这个数不停向左移动，一直移动到左边的数字不再比自己大，停止移动。
- 估算时发现这个算法流程的复杂程度，会因为数据状况的不同而不同。
流程及复杂度分析：
[3,2,3,1,4,0]0,1,2,3,4,5
1) 0~0 有序
2) 0~1 有序 1与前比 插入
3) 0~2 有序 2与前比 插入
4) 0~3 有序 3与前比 插入
5) 0~4 有序 4与前比 插入
6) 0~5 有序 5与前比 插入不固定时间时间随数据情况变化时，最差情况来估计流程[7,6,5,4,3,2,1]
交换次数 123456
代码示例：
package class01;import java.util.Arrays;public class Code03_InsertionSort {public static void insertionSort(int[] arr) {if (arr == null || arr.length < 2) {return;}// 不只1个数for (int i = 1; i < arr.length; i++) { // 0 ~ i 做到有序for (int j = i - 1; j >= 0 && arr[j] > arr[j + 1]; j--) {swap(arr, j, j + 1);}}}// i和j是一个位置的话，会出错public static void swap(int[] arr, int i, int j) {arr[i] = arr[i] ^ arr[j];arr[j] = arr[i] ^ arr[j];arr[i] = arr[i] ^ arr[j];}// for testpublic static void comparator(int[] arr) {Arrays.sort(arr);}// for testpublic static int[] generateRandomArray(int maxSize, int maxValue) {// Math.random() -> [0,1) 所有的小数，等概率返回一个// Math.random() * N -> [0,N) 所有小数，等概率返回一个// (int)(Math.random() * N) -> [0,N-1] 所有的整数，等概率返回一个int[] arr = new int[(int) ((maxSize + 1) * Math.random())]; // 长度随机for (int i = 0; i < arr.length; i++) {arr[i] = (int) ((maxValue + 1) * Math.random()) - (int) (maxValue * Math.random());}return arr;}// for testpublic static int[] copyArray(int[] arr) {if (arr == null) {return null;}int[] res = new int[arr.length];for (int i = 0; i < arr.length; i++) {res[i] = arr[i];}return res;}// for testpublic static boolean isEqual(int[] arr1, int[] arr2) {if ((arr1 == null && arr2 != null) || (arr1 != null && arr2 == null)) {return false;}if (arr1 == null && arr2 == null) {return true;}if (arr1.length != arr2.length) {return false;}for (int i = 0; i < arr1.length; i++) {if (arr1[i] != arr2[i]) {return false;}}return true;}// for testpublic static void printArray(int[] arr) {if (arr == null) {return;}for (int i = 0; i < arr.length; i++) {System.out.print(arr[i] + " ");}System.out.println();}// for testpublic static void main(String[] args) {int testTime = 500000;int maxSize = 100; // 随机数组的长度0～100int maxValue = 100;// 值：-100～100boolean succeed = true;for (int i = 0; i < testTime; i++) {int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);int[] arr1 = copyArray(arr);int[] arr2 = copyArray(arr);insertionSort(arr1);comparator(arr2);if (!isEqual(arr1, arr2)) {// 打印arr1// 打印arr2succeed = false;for (int j = 0; j < arr.length; j++) {System.out.print(arr[j] + " ");}System.out.println();break;}}System.out.println(succeed ? "Nice!" : "Fucking fucked!");int[] arr = generateRandomArray(maxSize, maxValue);printArray(arr);insertionSort(arr);printArray(arr);}}
6 冒泡排序和插入排序比较
冒泡排序：在数据优良情况下，流程固定，比较次数没有减少，减少了交换
插入排序：在数据优良情况下，减少了比较和交换
三，注意
- 算法的过程和具体的语言是无关的。
- 想分析一个算法流程的时间复杂度的前提，是对该流程非常熟悉。
- 一定要确保在拆分算法流程时，拆分出来的所有行为都是常数时间的操作。这意味着你写算法时，对自己用过的每一个系统api都非常熟悉。否则会影响你对时间复杂度的估算。
四，常见时间复杂度
常见时间复杂度的表格总结：
| 时间复杂度 | 描述 | 示例 |
|---|---|---|
| O(1) | 常数时间复杂度 | 直接访问数组元素 |
| O(log n) | 对数时间复杂度 | 二分查找 |
| O(n) | 线性时间复杂度 | 遍历数组 |
| O(n log n) | 线性对数时间复杂度 | 快速排序、归并排序 |
| O(n^2) | 平方时间复杂度 | 冒泡排序、插入排序 |
| O(n^3) | 立方时间复杂度 | 简单的多层嵌套循环算法 |
| O(2^n) | 指数时间复杂度 | 某些递归算法 |
| O(n!) | 阶乘时间复杂度 | 解决旅行商问题 |
| 口诀：常对线幂指阶 |
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