欧拉图-戈尼斯堡七桥问题

设G是无孤立结点的图，若存在一条通路（回路），经过图中每边一次且仅一次，则称该通路（回路）为该图的一条欧拉通路（回路）。

具有欧拉回路的图称为欧拉图

平凡图为欧拉图

欧拉通（回）路是经过图中所有边的通（回）路中长度最短的

无向欧拉图的判定定理

无向图G=<V,E>具有一条欧拉通路，当且仅当G是连通的，有且仅有零个或两个奇度数结点

无向图G=<V,E>具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点的度数均为偶数

求无向图欧拉回路-Fleury算法

依次选边，每选一条边就从图中删去。选边条件：与上一条已选取的边关联；除非无边可选，否则不能选割边

有向欧拉图的判定定理

有向图G具有一条欧拉通路，当且仅当G是连通的，且除了两个结点（一个入度比出度大1，一个出度比入度大1）外，其余结点的入度等于出度
有向图G具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，且全部点入度等于出度

哈密顿图-周游世界问题

设G是一个无向或有向图，若存在一条通路（回路），经过图中每个节点一次且仅一次，则称此通路（回路）为该图的一条哈密顿通路（回路）。

具有哈密顿回路的图称为哈密顿图

平凡图为哈密顿图

哈密顿通路是经过图中所有结点的通路中长度最短的通路

哈密顿图的必要条件

设无向图G=<V,E>是哈密顿图，V₁是V的任意非空子集，则p(G-V₁)≤|V₁|，其中p(G-V₁)s是从G中删除V₁后得到图的连通分支数

哈密顿通路的必要条件

设无向图G=<V,E>中存在哈密顿通路，则对V的任意非空子集V₁，都有p(G-V₁)≤|V₁| + 1.

有割点的图一定不是哈密顿图

哈密顿通路的充分条件

设G=<V,E>是具有n个结点的简单无向图。如果对任意两个不相邻的结点u,v∈V，均有deg(u) + deg(v) ≥ n - 1，则G中存在哈密顿通路

哈密顿回路的充分条件

设G=<V,E>是具有n个结点的简单无向图。如果对任意两个不相邻的结点u,v∈V，均有deg(u) + deg(v) ≥ n，则G中存在哈密顿回路

deg(v)≥n/2就是哈密顿图

偶图

无向图G中结点集V可以划分为V₁、V₂两个子集，V₁、V₂交集为空，并集为V；任意一条边e的一端为v₁，另一端为v₂，称图G为偶图、二分图、二部图。V₁和V₂为互补结点子集，偶图通常记为G=<V₁,E,V₂>

完全偶图、完全二分图

V₁和V₂中每个结点，有且仅有一条边相关联。记为K_ij,i=|V₁|,j=|V₂|

无向图G=<V,E>为偶图的充要条件是所有回路的长度均为偶数

平凡图和零图是特殊的偶图

偶图的匹配

就是寻找V₁到V₂的单射

匹配判定条件（霍尔定理）

V₁中任意k个结点至少与V₂中k个结点相邻，k=1,2,……,|V₁|（相异性条件）

t条件（充分条件）

设G=<V₁,E,V₂>是一个偶图：

• V₁中每个结点至少关联t条边（V₁结点最小度数）
• V₂中每个结点至多关联t条边（V₂结点最大度数）

则G中存在从V₁到V₂的匹配。t为正整数

平面图

如果能够把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，使任何两条边都不会在非节点除交叉，称G为平面图。

面：平面表示中由边所包围的内部不包含图的结点和边的区域。这个边的集合叫边界，边界的长度称为这个面的次数D®。区域面积优先的面叫有限面，无限的叫无限面

平面图中所有面次数之和等于边数的两倍

欧拉公式

G=<V,E>是连通平面图，若她有n个结点、m条边、r个面，则n - m + r = 2

欧拉公式推论一：G是一个(n,m)简单连通平面图，若m > 1，则m ≤ 3n - 6
欧拉公式推论二：G是一个(n,m)简单连通平面图，若每个面的次数至少为k(k ≥ 3)，则 m ≤ k(n - 2) / (k - 2)

库拉托夫斯基定理

同胚：两个图G₁、G₂，或经过反复插入或消去2度结点后同构，则G₁与G₂同胚

收缩：在图G中删去边e，把e的两个端点u,v重合使用一个新的结点w代替，称为边e的收缩。

库拉托夫斯基定理

一个图是平面图的充要条件是它的任何子图都不与K₅或K_3,3同胚