【抽代复习笔记】19-群(十三):奇偶置换、循环置换的几个定理及例题

定义:

①在Sn中,能够表示为奇数多个对换乘积的置换称为“奇置换”,能够表示为偶数多个对换乘积的置换称为“偶置换”;

②所有偶置换的集合记为An。

 

例1:(1)计算S1和S2中奇、偶置换的数目;

(2)计算S3中奇偶置换的数目。

解:(1)S2 = {(1),(12)},其中(12)是奇置换,(1) = (12)(12)是偶置换,所以S2中奇偶置换各自的数目均为1个;

(2)S3 = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)},其中(12),(13),(23)为奇置换,(1) = (12)(12),(123) = (13)(12),(132) = (12)(13)是偶置换,因此S3中奇偶置换各自的数目均为3个。

 

定理5:n ≥ 2时,Sn中奇、偶置换各占一半,即|An| = n!/2。

证:设|An| = s,|Sn - An| = t,(Sn - An表示Sn中所有奇置换组成的集合)

任取σ∈An,取对换(12)∈Sn,由于σ为偶置换,因此置换 (12)σ 为奇置换,

即 (12)σ∈Sn - An,

从而,根据σ的任意性,可知|An| ≤ |Sn - An|,即s ≤ t;

同理,任取r∈Sn - An,(12)σ ∈ An,

因此有|An| ≥ |Sn - An|,即s ≥ t;

所以有 s = t,也就是说Sn中奇、偶置换的数目相等,彼此各占一半。

 

例2:在S5中,将下列循环的乘积表示为矩阵形式:

(1)(145)(23),(23)(145);

(2)(13)(25),(25)(13)。

解:按从右到左计算:

(1)①先是2和3对换,然后1变4、4变5、5变1,因此表示成矩阵形式如下:

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②先是1变4、4变5、5变1,然后是2和3对换,因此表示成矩阵形式如下:

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(2)①先是2和5对换,然后1和3对换,因此表示成矩阵形式如下:

85fdc70bf21545258cf2deca4674ba02.png

②先是1和3对换,然后2和5对换,因此表示成矩阵形式如下:

7296dcc4df074bfbb161a607d4584e64.png

 

定理6:两个不相交的循环置换的乘积可交换。

 

例3:求

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的逆元。

解:σ5 = (1245),则由:

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可求出σ5的逆元,因为(1245)(1542) = (1),因此σ5的逆元为(1542) = (5421),即:

56c7e002ebf84b64a362274f316c5641.png

 

定理7:k-循环的逆元等于反序写出的循环,即

a1871f948b69416da4b89d9733d1eb1d.png

 

例4:在S6中,计算下列置换的阶:

(1)(235);

(2)(1254);

(3)(13)(256);

(4)(13)(24)。

解:(1)(235)^2 = (235)(235) = (253),(235)^3 = (235)(235)(235) = (253)(235) = (1),所以|(235)| = 3;

(2)(1254)^2 = (1254)(1254) = (15)(24),(1254)^3 = (1254)(1254)(1254) = (15)(24)(1254) = (1452),(1254)^4 = (1254)(1254)(1254)(1254) = (1452)(1254) = (1),所以|(1254)| = 4;

(3)|(13)(256)| = |(13)|×|(256)| = 2×3 = 6;

(4)[(13)(24)]^2 = (13)(24)(13)(24) = (1),所以|(13)(24)| = 2。

 

定理8:

(1)k-循环的阶等于k;

(2)如果一个置换σ可以表示为一个k-循环和一个l-循环的乘积,那么|σ|等于k,l的最小公倍数。

 

(待续……) 

 

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