浙江省中考数学典型

若：$n^n=2^{2048}$求$\sqrt{n}$

解

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幂运算公式1

$a^n=a^{t\times \frac{1}{t}\times n}$

$$n^n=2^{2048}=2^{t\times \frac{1}{t}\times 2048}=(2^t{)}^{\frac{2048}{t}}$$
总有一个实数 $t$ 满足 $n=2^t=\frac{2048}{t}$

$t\times 2^t=2048=2^{11}$

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幂运算公式2

$a^{n-m}\times a^m=a^{n-m+m}=a^n$

$$t\times 2^t=2^{11}=2^{11-m}\times 2^m$$
总有一个实数 $m$ 满足 $t=2^m=11-m$

移项：$2^m+m=11=8+3=2^3+3$

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$\because 2^m+m=8+3=2^3+3$
$\therefore m=3$
$\therefore t=2^m=2^3=8$
$\therefore n=2^t=2^8$
$\therefore \sqrt{n}=\sqrt{2^8}=2^{\frac{8}{2}}=2^4=16$