目录

一. 介绍

二. 极大似然译码

三. 破零译码算法

四. 最小均方误差算法

五. 球形译码

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一. 介绍

发射天线数记为Mt，接收天线数记为Mr。由此发射信号x为向量：

接受信号y为向量：

信道H为矩阵：

利用n代表噪声向量，由此可得MIMO通信系统模型为：

y=Hx+n

噪声服从复高斯分布，通常假定均值为0，方差为1，如下：

发射信号的总功率限定为，由此需要发射信号x的均值满足如下关系：

接收端在收到y后，就尝试译码出x，但译码不一定完全正确，所以记为（estimate）：

接收端在译码之前通常已知：信号矩阵（channel matrix）H，集合X，y

二. 极大似然译码

Maximum likelihood:ML，极大似然译码

在接下来的讨论中，我们不妨假设发射信号x为均匀分布。

如果想要译码错误率最小，那么最优的则是极大似然译码。假定噪声在不同的维度上独立同分布（IID），那么接收端采用极大似然译码时，其本质就是解决如下目标函数（objective function）：

理解：遍历所有可能得发射向量x，很明显需要尝试次。所以极大似然译码算法的复杂度与发射天线Mt成指数关系。

三. 破零译码算法

zero forcing：ZF，迫零算法

迫零算法属于线性译码。线性译码的复杂度与对矩阵进行求逆（inverting），分解（factorizing）是差不多的。简单来讲就是从空间的角度消除信道的影响，也就是所谓的MIMO均衡过程。来看下对应的英文表达：

Spatially decoupling the effects of the channel by a process known as MIMO equalization
也就是对接收向量y乘以MIMO均衡矩阵A，如下：

由此可得：

此步的结果不一定在原始的集合中，所以需要进一步运算得到。通常就是利用逐维度进行译码，该步译码方程可记作：

理解：从不同的维度上，映射到离其最近的星座点（constellation point）上。

接下来，我们将详细讲解迫零算法。

需要注意的是，线性译码的精髓是如何已知y，求解

将迫零算法需要面临的方程问题如下：

与极大似然译码相比，看起来方程很类似。细心的话会发现去掉了对x范围的限制，由此便降低了算法的复杂度。

如何H为可逆的方阵（square invertible）。这个问题可直接求解为：

对于可逆的方阵，也就是：

在其他情况则可以考虑矩阵的伪逆。通常在通信系统中，要求接收天线要不少于发射天线，也就是：

这样就可以保证信道矩阵H中有Mt列线性独立的列，由此伪逆（Moore-Penrose pseudoinverse）可计算为：

对信道矩阵H求逆的算法复杂度为立方。当然从得到，根据前面的方程，很明显与天线之间呈现线性关系。

四. 最小均方误差算法

linear minimum mean squared error (L-MMSE)：线性最小均方误差算法

如果信道矩阵H的奇异值（singular value）太大，迫零算法会导致噪声扩大（noise amplification）。根据线性代数的基础，此性质可用矩阵H的条件数（condition number）来衡量，定义为最大奇异值与最小奇异值的比值。

如果条件数趋近于1，那么迫零算法误差相对不大，矩阵well conditioned。

如果条件数过大，那么迫零算法误差将也会变大，矩阵ill conditioned。

对迫零算法的目标函数，添加一个调节项，也就是：

该目标函数的求解也不难，可得：

对于L-MMSE，上式子中的定义为天线数除以总功率，也就是：

该方程求解的本质为：

理解：上式子中s与y之间呈现线性关系，也就是所谓的仿射关系（affine）。

E代表与x和n相关的均值。需要注意的是，对于接收方来讲，信道矩阵H是固定且已知的。

实际上如果忽略x来自于离散的星座点，也将其看成连续的高斯分布的话，那么这就是MMSE译码器（MMSE detector）。

与极大似然译码（ML）相比，线性译码器的优点是操作简单，缺点是BER（比特误码率）较高。

五. 球形译码

sphere decoder:SD，球形译码

球形译码有一个很重要的半径参数r，由此来根据需要平衡性能与复杂度，很像格密码。

如果选择足够大的r，那么球形译码的性能会接近极大似然译码（ML）。

如果r较小，需要搜寻的空间会变小，由此复杂度降低（与ML相比），当然代价就是正确率会下降。

球形译码器需要首先对信道矩阵H进行分解，如下：

H=QR

其中Q为酉矩阵（unitary），R为上三角矩阵（upper triangular）。回忆起来，酉矩阵Q与其转置不会改变向量的l2范数（squared distance norm），由此可得：

以上式子的运算就利用到了：

最后一个等号：R为上三角矩阵。

当半径r取无穷大时，方程便会得到ML算法的解。

当半径r取值不大时，借助深度优先搜寻（depth first search）或者宽度优先搜寻（breadth first search），利用上三角矩阵R的性质，可以去掉很多离得远的x，由此便可以降低算法复杂度。

实践证明球形译码的输出结果一般与ML输出结果类似。